Valutare la precisione di uno strumento

Scopo
Materiale occorrente
Misurare
Valutare gli errori

Scopo

Valutare la precisione di uno strumento per misurare l'altezza del Sole, confrontando i risultati con i valori di altezza teorici. L'esperimento può essere eseguito a qualsiasi ora del giorno.

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Materiale occorrente

-Orologio sincronizzato (puoi regolare l'orologio qui)

-Uno dei seguenti moduli di calcolo dell'altezza del Sole a qualsiasi ora del giorno:

un modulo semplice

un modulo più complesso (per l'uso del foro gnomonico).

Dati da conoscere: latitudine e longitudine precise del luogo di osservazione. Le puoi ottenere con il noto programma GoogleEarth oppure nel sito Heavens Above.

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Misurare

Si può utilizzare uno qualsiasi degli strumenti proposti (quadrante mobile, gnomone di cartoncino, o uno strumento di maggiori dimensioni. Qualsiasi momento delle ore di luce può andare bene, considerando però che di mattina presto e di sera tardi le ombre diventano troppo lunghe.

Sincronizzare l'orologio

A questo punto dobbiamo sincronzzare al meglio un orologio con il segnale orario, in modo che lo scarto non superi la decina di secondi. Oltre al metodo del segnale radio, possiamo farlo anche via web alla pagina predisposta dall' Istituto "Galileo Ferraris" di Torino. Facendo click sul tasto Update si ottiene l'ora con una buona precisione. Insisto sulla precisione perché la variazione di altezza del Sole, specie in alcune ore del giorno, è più rapida di quanto si immagini comunemente.

Ad esempio, alla latitunine 45°, attorno agli equinozi e verso le 8 e verso le 17, l'altezza varia di 10' al minuto. Ciò significa che nel giro di 6 minuti il Sole si è già alzato di un grado (il doppio del suo diametro apparente!). Intorno alle 10 e alle 15 è di 7'/minuto. Fortunatamente per Eratostene, l'altezza è molto più "stabile" a cavallo del mezzogiorno solare locale, in cui la variazione è solo di qualche centesimo di grado al minuto.

Scegliere il momento

Dato che i moduli ci forniscono facilmente le altezze del Sole all'istante desiderato, è bene eseguire un certo numero di misurazioni successive a intervalli di uno o due minuti. E' bene anche testare lo strumento con altezze diverse del Sole (di mattina, verso mezzogiorno e di sera).

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Valutare gli errori

Uso del quadrante mobile

Il quadrante mobile ha un'incertezza di un grado, dovuta alla scala graduata delle dimensioni proposte. E' sufficiente controllare l'errore confrontando le misure effettuate con i valori forniti dal modulo semplificato. Maggiori sono le dimensioni del quadrante che si costruisce, e maggiore è la precisione che si può ottenere, aumentando le suddivisioni della scala graduata. Ma dobbiamo tener conto della facilità di costruzione e degli scopi didattici che ci proponiamo.

Uso del foro gnomonico

Per lo gnomone con foro, sia esso un piccolo triangolo di cartoncino o uno strumento di maggiori dimensioni, è interessante confrontare e sperimentare i parametri che influenzano l'errore di misura. Il modulo di calcolo per lo gnomone con foro che propongo, considera i principali parametri che intervengono nella valutazione dell'errore teorico. Ecco alcuni aspetti del problema, utili per interpretare i dati calcolati dal modulo:

(Per un'analisi matematica dettagliata vedi qui)

- La misura dell'altezza del Sole è indiretta: si misura l'altezza dello gnomone e la lunghezza dell'ombra e da queste due misure si calcola l'angolo cercato con la funzione arcotangente.

- Le ombre sono soggette innanzitutto all'effetto di penombra: il Sole, non essendo una sorgente puntiforme, proietta ombre dal bordo "sfumato". Lo spessore del bordo di penombra, che è direttamente proporzionale alla distanza tra l'oggetto e lo schermo sul quale esso proietta l'ombra, è una inevitabile fonte di imprecisione.

- Misurare la lunghezza dell'ombra proiettata da uno stilo verticale non è facile, perché non è facile individuare la sua estremità sfumata dalla penombra. Inoltre aumentando le dimensioni dello gnomone, le conseguenze sono due e contrastanti tra loro: da una parte abbiamo una maggior precisione nella misura della sua altezza (dovuta al fatto che si può mantenere un'incertezza di un millimetro anche per altezze considerevoli), dall'altra una minor precisione nella misura dell'ombra dovuta all'ampliarsi della fascia di penombra.

- L'uso del foro, che proietta una macchia di luce sullo schermo, limita in parte questa fonte di imprecisione, per almeno due motivi: 1) individuare il centro di una forma simmetrica per quanto sfumata (la macchia di luce ellittica) è un'operazione più precisa che non trovare la metà del gradiente di penombra corrispondente alla semplice estremità di uno stilo. 2) Si può sfruttare l'effetto camera oscura che riduce l'imprecisione proporzionalmente alle dimensioni dello gnomone.

- Infatti, la macchia di luce proiettata da un foro su uno schermo presenta due "comportamenti" molto diversi a seconda della distanza tra il foro e lo schermo:

- L'effetto bordo. Se la distanza tra il foro e lo schermo è inferiore ad una certa distanza limite pari a 114,6 volte il diametro del foro, la macchia di luce mantiene la forma del foro, ma i bordi hanno un'alone di penombra che è tanto più largo quanto più ci si avvicina alla distanza limite. Chiamo questo comportamento "effetto bordo".

- L'effetto camera oscura. Se il foro e lo schermo hanno una distanza maggiore della distanza limite accennata, la macchia di luce rappresenta l'immagine capovolta del Sole, con un'alone di sfumatura largo quanto il diametro del foro. Aumentando la distanza, aumenta il diametro dell'immagine solare ma lo spessore dell'alone rimane costante. Essendo proprio questo alone la principale fonte di imprecisione, ne risulta che l'effetto camera oscura è migliore dell'effetto bordo.

- Le dimensioni e la forma della macchia di luce variano ulteriormente per il fatto che il foro e lo schermo non sono paralleli tra loro (il foro è verticale e lo schermo è il piano orizzontale) ed entrambi non sono perpendicolari ai raggi del Sole. Di conseguenza la valutazione teorica dell'errore si complica anche perché l'altezza del Sole, che è l'angolo che intendiamo misurare, diventa essa stessa un parametro che interviene sull'errore.

- In conclusione, la precisione maggiore si dovrebbe ottenere con l'effetto camera oscura e:

a) aumentando l'altezza dello gnomone
b) diminuendo il diametro del foro
c) lavorando in un ambiente poco illuminato (infatti con fori troppo piccoli l'immagine del Sole diventa più nitida ma troppo debole e si confonde con la luminosità ambientale).


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Misurare l'altezza del Sole

 

 

 

 

 

Il quadrante mobile ha il vantaggio dell'immediatezza didattica, ma lo svantaggio della scarsa precisione, che si può compensare con un elevato numero di misurazioni.

 

Il Sole non è una sorgente puntiforme ma possiede un diametro angolare (apparente) di mezzo grado. Di conseguenza le ombre proiettate presentano aloni di penombra più o meno spessi a seconda della distanza tra l'oggetto opaco e lo schermo, e calcolabili in base a tale angolo. Lo schema in alto rappresenta geometricamente il propagarsi dell'alone di penombra nel caso di un foro gnomonico. (Da a ad e: schermi posti a varie distanze dal foro. Lo schermo c si trova alla distanza limite).

Macchia di luce in funzione della distanza tra foro e schermo (dall'alto al basso la distanza aumenta) nel caso di foro e schermo tra loro paralleli e perpendicolari ai raggi solari.
a-b: effetto bordo.L'alone di penombra aumenta con la distanza.
c: distanza limite=114,6f (interamente in penombra a parte il punto centrale).
d-e: effetto camera oscura. L'alone mantiene uno spessore costante e uguale al diametro del foro.

La forma e le dimensioni della macchia di luce orizzontale (generalmente ellittica), proiettata da un foro verticale, dipendono dalla distanza d e quindi anche dall'altezza del Sole.



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