Come calcolare l’equazione del centro

In questa pagina vedremo come, nella teoria solare di Ipparco e Tolomeo, si può ottenere il valore dell’equazione del centro $E_c$ dato un qualsiasi valore di anomalia media $\alpha_m$.

Partiamo innanzitutto considerando l’uguaglianza degli angoli $S_v\hat{T}S_m=C\hat{S_v}T=E_c$. Essi sono uguali per il fatto che il segmento $S_vS_c$ è uguale e parallelo al segmento $CT$.

Notiamo anche l’uguaglianza degli angoli $A\hat{C}S_v=A\hat{T}S_m=\alpha_m$ data dal parallelismo tra i due lati $S_vC$ e $S_mT$.

Portiamo ora l’attenzione esclusivamente al triangolo $S_vBT$ ottenuto prolungando $S_vC$ fino ad incontrare in $B$ la perpendicolare ad esso che passa per $T$. Essendo $A\hat{C}S_v=T\hat{C}B=\alpha_m$, ed essendo $CT=\epsilon$, possiamo scrivere:

$$CB=\epsilon\cdot\cos{\alpha_m}$$

e

$$TB=\epsilon\cdot\sin{\alpha_m}$$

Il cateto $SvB$ è dato dalla somma del raggio $S_vC$ e del cateto $CB$. Sappiamo però che il raggio del cerchio è unitario, perciò:

$$S_vB=1+\epsilon\cdot\cos{\alpha_m}$$

Si calcola ora l’ipotenusa $S_vT$ per mezzo del teorema di Pitagora sul triangolo $S_vBT$:

$$S_vT=\sqrt{(1+\epsilon\cdot\cos{\alpha_m})^2+(\epsilon\cdot\sin{\alpha_m})^2}$$

In seguito ad alcune semplificazioni algebriche, si ottiene:

$$S_vT=\sqrt{1+2\epsilon\cdot\cos{\alpha_m}+\epsilon^2}$$

Infine, conoscendo l’ipotenusa $S_vT$ e il cateto $TB$, l’angolo $E_c$ si ottiene come un seno:

$$\sin{E_c}=\frac{TB}{S_vT}=\frac{\epsilon\cdot\sin{\alpha_m}}{\sqrt{1+2\epsilon\cdot\cos{\alpha_m}+\epsilon^2}}$$

Da questa formula si ottiene il valore assoluto di $E_c$. Essendo $E_c=\alpha_v-\alpha_m$, il suo valore sarà negativo per $\alpha_m$ compreso tra $0^\circ$ e $180^\circ$ e positivo per $\alpha_m$ compreso tra $180^\circ$ e $360^\circ$. Il valore corretto di $E_c$ si ottiene perciò con un semplice cambio di segno:

$$\boxed{\sin{E_c}=-\frac{\epsilon\cdot\sin{\alpha_m}}{\sqrt{1+2\epsilon\cdot\cos{\alpha_m}+\epsilon^2}}}$$

Vedremo nelle prossime pagine quali passi sono da compiere per prevedere la longitudine vera del Sole, nello stile di Ipparco e Tolomeo.

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