Un esempio di calcolo dell’eccentricità e della longitudine dell’apogeo

Partendo dalle durate delle stagioni per il 2022, vediamo come avrebbe fatto Ipparco, nel II secolo a.C., a calcolare due parametri fondamentali: l’eccentricità del cerchio del Sole e la longitudine dell’apogeo.

primavera: $92^d17^h40^m = \text{92,7364}^d$
estate: $93^d15^h50^m = \text{93,6596}^d$
autunno: $89^d20^h44^m = \text{89,8642}^d$
inverno: $88^d23^h34^m =\text{88,9820}^d$

Il cerchio interno lo conosciamo già: è il circolo dell’orbita solare centrata nel punto $C$. La posizione della Terra è $T$ posizionata al centro del cerchio esterno che rappresenta la sfera delle stelle fisse, o meglio, il cerchio dello zodiaco. I punti $E_m$ ed $E_s$ indicano le direzioni degli equinozi e i punti $S_g$ e $S_d$ indicano le direzioni dei solstizi. Questi quattro punti suddividono lo zodiaco nei quattro settori di $90^\circ$ che sono le quattro stagioni.

Il centro $C$ del circolo orbitale del Sole deve trovarsi necessariamente nel settore dell’estate perché questa è la stagione più lunga e quindi tra $TH$ e $TQ$.

Per calcolare i due parametri, consideriamo il cerchio dell’orbita solare come un cerchio di raggio unitario $CM=1$ e ci proponiamo di risolvere il piccolo triangolo rettangolo $TEC$, retto in $E$, che si trova al centro.

La scelta del raggio unitario ci permette di facilitare la comprensione del procedimento e di semplificarne il disegno: in questo modo le lunghezze degli archi si possono considerare uguali alle ampiezze degli angoli sottesi.

Il primo passo consiste nel calcolare gli archi percorsi dal Sole in primavera e in estate. La primavera, che dura $\text{92,7364}$ giorni, corrisponde al tratto di orbita $FGH$. Esprimiamo ora in gradi il rapporto tra questo intervallo di tempo e l’intero anno tropico che, nella sua misura media attuale è di $\text{365,2422}$ giorni:

$$\frac{\text{92,7364}^d}{\text{365,2422}^d}\cdot360^\circ=\text{91,4054}^\circ$$

Possiamo concludere perciò che $FGH=\text{91,4054}^\circ$

Allo stesso modo, calcoliamo in gradi l’arco estivo $HAQ$ che dura $\text{93,6596}$ giorni:

$$HAQ=\frac{\text{93,6596}^d}{\text{365,2422}^d}\cdot 360^\circ=\text{92,3153}^\circ$$

Calcoliamo ora gli archi $FG$ e $NQ$ che sono uguali tra loro, calcolando dapprima l’intero arco $FMQ$ che è la somma di primavera ed estate:

$FMQ=FGH+HAQ= \text{91,4054}^\circ+\text{92,3153}^\circ=\text{183,7207}^\circ$

e, sapendo che $GMN=180^\circ$:

$FG=NQ=\frac{FMQ-180^\circ}{2}=\frac{\text{3,7207}^\circ}{2}=\text{1,8604}^\circ$

Ora si può calcolare l’arco $HM$:

$HM=HAQ-90^\circ-NQ=\text{92,3153}^\circ-90^\circ-\text{1,8604}^\circ=\text{0,4550}^\circ$

Conoscere le misure di questi due archi è quel che basta per calcolare per via trigonometrica le lunghezze dei segmenti $ET$ ed $EC$.

Osservando la figura a fianco che rappresenta un dettaglio della precedente, il segmento $ET=FF’$ una dimensione del rettangolo $FF’CD$. La diagonale $CF$ è il raggio unitario del circolo del Sole e la lunghezza dell’arco $GF$ è uguale all’ampiezza dell’angolo al centro $G\hat{C}F$. Perciò:

$ET=\sin{FG}=\sin{\text{1,8604}^\circ}=\text{0,0325}$

Un procedimento analo ci porta a calcolare il segmento $EC=HH’$:

$$EC=\sin{HM}=\sin{\text{0,4550}^\circ}=\text{0,0079}$$

Con i cateti $ET$ ed $EC$ possiamo calcolare l’eccentricità $CT$ che è l’ipontenusa, usando il teorema di Pitagora:

$$CT=\sqrt{EC^2+ET^2}=\sqrt{\text{0,0079}^2+\text{0,0325}^2}=\text{0,0334}$$

La longitudine dell’afelio si può calcolare se si trova prima l’ampiezza dell’angolo $E\hat{T}C$ per via trigonometrica:

$$\tan{E\hat{T}C}=\frac{EC}{ET}=\frac{\text{0,0079}}{\text{0,0325}}$$

Da cui si ricava $E\hat{T}C=\text{13,74}^\circ$.

Ed infine si calcola la longitudine dell’apogeo $L_a$ sapendo che l’angolo $F\hat{T}H=90^\circ$:

$$L_a=F\hat{T}A=90^\circ+E\hat{T}C=\text{103,74}^\circ$$

Per capire le proporzioni di questa eccentricità il cui valore è $\text{0,0334}$, dobbiamo pensare che se si disegna un cerchio di $20 cm$ di raggio, il segmento $CT$ è lungo $\text{6,7} mm$.

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