Si consideri il triangolo rettangolo in cui i cateti sono $a$ e $b$, l’ipotenusa è $i$, $\alpha$ è l’angolo opposto al cateto $a$ e $\beta$  è l’angolo opposto al cateto $b$.

Gli angoli $\alpha$ e $\beta$ sono complementari per cui conoscendone uno si determina l’altro:

$$\alpha+\beta=180°$$

Per risolvere un triangolo rettangolo, di questi cinque valori è sufficiente conoscerne due, di cui uno sia almeno la misura di un lato.

Il teorema di Pitagora ci  permette di determinare un lato conoscendo gli altri due:

$$i=\sqrt{a^2 + b^2}$$

$$a=\sqrt{i^2 – b^2}$$

$$b=\sqrt{i^2 – a^2}$$

Partendo da alcune regole geometriche basilari e da alcune relazioni tra lati e angoli che sono insite nelle definizioni delle funzioni trigonometriche:

 

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{i}$$

$$\sin{\alpha} = \frac{a}{i}$$

$$\tan{\alpha} = \frac{a}{b} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

si possono elencare alcune regole utili per risolvere il triangolo rettangolo.

Determinare un cateto conoscendo il suo angolo opposto e l’ipotenusa:

$$a = i\cdot\sin\alpha$$
$$b = i\cdot\sin\beta$$

Determinare un cateto conoscendo il suo angolo acuto adiacente e l’ipotenusa:

$$a = i\cdot\cos\beta$$
$$b = i\cdot\cos\alpha$$

Determinare un cateto conoscendo l’angolo acuto adiacente e l’altro cateto:

$$b=\frac{a}{\tan\alpha}$$
$$a=\frac{b}{\tan\beta}$$

Determinare un cateto conoscendo l’angolo opposto e l’altro cateto:

$$b=a\cdot\tan\beta$$

$$a=b\cdot\tan\alpha$$