a cura di Nicola Scarpel

Una meridiana analemmatica portatile (R=7,5 cm) disegnata su cartoncino 15×20 cm. Lo gnomone è costruito con alcuni piccoli pezzi Lego.

La meridiana analemmatica è una particolare meridiana a quadrante orizzontale. Lo stilo segna l’ora corretta solo se è posizionato in un punto la cui posizione è funzione della data. Le sue peculiarità e la facilità di progettazione e di costruzione rendono questa meridiana adatta ai giardini: una persona può sostituire lo gnomone posizionandosi lungo la linea meridiana (scala delle date) in corrispondenza del mese indicato e la sua stessa ombra indicherà l’ora.

Purtroppo il principio del suo funzionamento non è di immediata comprensione come avviene invece per altri strumenti discussi in queste pagine.

Per cominciare la progettazione si decidono le dimensioni dello strumento, definite dalla misura del raggio $R$ (segmento $OA$) del cerchio principale.  Inoltre bisogna conoscere la latitudine del luogo dove sarà posizionata la meridiana. Se si desidera costruire una meridiana da giardino con gnomone “umano”, consiglio un valore di $R$ compreso tra $1,5m$ e $2m$.

Impostazione della linea meridiana e dei due cerchi. Si rappresenta qui anche la disposizione dell’ellisse dei punti orari. I due raggi $\bf{R}$ e $\bf{r}$ sono i semiassi di tale ellisse.

Ecco i passi da seguire per la costruzione:

1. Si tracci la linea meridiana $NS$ con uno dei metodi descritti qui e si decida la posizione del punto $O$ che diventerà il centro della meridiana

2. La misura del raggio minore $r$ si calcola da $R$ e dal il valore della latitudine $\varphi$ con la seguente formula:

$r = R\sin{\varphi}$

3. Si traccino le due circonferenze concentriche di centro $O$ e raggi $R$ e $r$. Ora si può già prefigurare la forma e la disposizione dell’ellisse dei punti orari: il raggio maggiore $R$ rappresenterà il semiasse maggiore dell’ellisse dei punti orari mentre $r$ diventerà il suo asse minore.

4. Il prossimo passo è l’identificazione grafica dei punti orari che si basa su una serie di semirette di costruzione, distanziate di $15°$ tra loro, ciascuna corrispondente ad un’ora particolare.

Vediamo come esempio il modo per determinare il punto orario delle ore $10$. La semiretta del mezzogiorno è in direzione nord. Nelle ore mattutine l’ombra di uno gnomone centrale si proietta sul lato ovest del quadrante, viceversa al pomeriggio. La semiretta di costruzione delle ore $10$, che è separata di $2$ ore dal mezzogiorno, sarà perciò inclinata di  $30°$ a ovest partendo da nord.

  1. Si tracci la semiretta $OT$ inclinata di 30° rispetto al nord.
  2. Questa semiretta interseca il cerchio principale nel punto $H$ e il cerchio secondario nel punto $K$.
  3. Si tracci la retta $HH’$ parallela alla linea meridiana
  4. Si tracci la retta $KK’$ perpendicolare alla retta meridiana.
  5. L’incrocio tra queste due semirette è il punto orario delle ore $10$.

In alternativa al metodo grafico si possono calcolare le coordinate $x$ e $y$ di un punto orario corrispondente ad una semiretta di costruzione inclinata di un angolo $\alpha$ contato in senso orario a partire dalla mezzanotte, cioè dalla semiretta $OS$. Se $h$ è l’ora di cui si vuole calcolare il punto orario, il valore di $\alpha$ in gradi si calcola:

$\alpha = h\times 15°$

(Ad esempio, la semiretta di costruzione delle ore $10$ forma un angolo di $150°$ con la semiretta $OS$).

Il punto orario va posizionato, rispetto all’origine $O$, alle seguenti coordinate:

$$x=R\cos{(\alpha+90°)}$$

$$y=-r \sin{(\alpha+90°)}$$

Completamento dei punti orari

La meridiana si completa con la scala delle date.

Scala della date

Ogni punto data va posto lungo la linea meridiana ad una distanza $Z$ che dipende dalla declinazione $\delta$ del Sole in quel giorno. Al solstizio di giugno il valore di $\delta$ è $+23,4°$ e al solstizio di dicembre il suo valore è $-23,4°$. Agli equinozi $\delta=0°$

La formula da utilizzare per calcolare $Z$ è la seguente:

$$Z=R\cos{\varphi}\tan{\delta}$$

I valori di $Z$ positivi rappresentano le distanze dal centro verso nord, quelli negativi verso sud. I valori della declinazione del Sole si possono ricavare da questo calcolatore delle declinazioni solari. Un  modulo di calcolo della meridiana analemmatica semplificherà tutte queste operazioni producendo automaticamente il valore di $r$, i $12$ valori $Z$ corrispondenti al primo giorno di ogni mese, e i valori $Z$ dei solstizi e degli equinozi.

E’ sulla scala delle date che andremo a posizionare, di volta in volta, lo gnomone verticale (oppure noi stessi) per proiettare l’ombra e leggere l’ora.

*) Si accenna qui brevemente al principio di funzionamento. La meridiana analemmatica utilizza la variazione di azimut del Sole nel corso della giornata (è una meridiana azimutale). Le meridiane azimutali offrono la lettura diretta dell’azimut per mezzo di uno stilo verticale (vedi anche: misurare l’azimut del Sole). L’azimut del Sole dipende geometricamente e matematicamente da tre parametri: la latitudine, la declinazione (cioè la data) e l’angolo orario (cioè l’ora solare).  Perciò, conoscendo azimut, latitudine e declinazione si determina necessariamente l’ora. I quadranti delle meridiane azimutali a stilo fisso possiedono numerose curve di data (o scale giornaliere) che rappresentano paralleli di uguale declinazione; esse si intersecano con curve orarie che invece rappresentano proiezioni di cerchi orari. La lunghezza dell’ombra dello stilo non ha alcuna importanza nella lettura. L’intersezione tra l’ombra e una certa linea della scala giornaliera, interseca anche una curva oraria e quindi indica l’ora.  Nel caso particolare dell’orologio analemmatico, uno speciale procedimento geometrico proiettivo  fa in modo che tutte le linee di data coincidano in un’unica linea (l’ellisse) e che tutte le linee orarie diventino punti orari sull’ellisse. Questa notevole semplificazione si ottiene a patto di poter spostare lo stilo verticale lungo la linea meridiana, in un punto diverso per ogni data.

La meridiana si chiama “analemmatica” perché con questo nome gli astronomi greci e romani intendevano quella che oggi si chiama proiezione ortografica. La costruzione del quadrante si basa, infatti, su un particolare tipo di proiezione ortografica della sfera celeste sul piano orizzontale. Questo nome non si deve confondere con l’analemma o lemniscata.

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