{"id":1174,"date":"2013-04-05T13:38:35","date_gmt":"2013-04-05T13:38:35","guid":{"rendered":"https:\/\/eratostene.vialattea.net\/wpe\/2013\/04\/05\/triangolo-sferico\/"},"modified":"2024-03-02T09:08:02","modified_gmt":"2024-03-02T08:08:02","slug":"triangolo-sferico","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/eratostene.vialattea.net\/wpe\/argomenti\/geometria-utile\/triangolo-sferico\/","title":{"rendered":"Triangolo sferico"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/a><\/figure>
\n

Un triangolo sferico \u00e8 una parte di superficie sferica delimitata da tre archi di cerchi massimi<\/a>:<\/p>\n\n\n\n

$\\overset{\\frown}{BC}=a$
$\\overset{\\frown}{CA}=b$
$\\overset{\\frown}{AB}=c$<\/p>\n\n\n\n

I tre vertici del triangolo ($A$, $B$ e $C$) sono vertici di altrettanti angoli sferici<\/a> interni:<\/p>\n\n\n\n

$\\hat{A}=\\alpha$
$\\hat{B}=\\beta$
$\\hat{C}=\\gamma$<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Se la sfera ha raggio unitario, le lunghezze dei lati si possono esprimere, in radianti, come ampiezze dei corrispondenti angoli al centro:<\/p>\n\n\n\n

$$a=C\\hat{O}B$$<\/p>\n\n\n\n

$$b=A\\hat{O}C$$<\/p>\n\n\n\n

$$c=A\\hat{O}B$$<\/p>\n\n\n\n

Le principali formule riguardanti il triangolo sferico sono l’espressione di tre teoremi: il teorema del coseno (o di Eulero)<\/strong>, il teorema dei seni<\/strong> e il teorema delle proiezioni<\/strong>. Sono anche chiamate formule fondamentali<\/strong> perch\u00e9 in base ad esse si possono ricavare tutte le altre.<\/p>\n\n\n\n<\/a>\n\n\n\n

Teorema del coseno (formule di Eulero)<\/h4>\n\n\n\n

E’ in qualche modo paragonabile al teorema di Carnot<\/a> della trigonometria piana e permette di calcolare il coseno di un lato conoscendo gli altri due lati e l’angolo compreso fra essi (vedi la dimostrazione<\/a>).<\/p>\n\n\n

\\begin{equation}\\tag{1}\\label{eq1}
\n\\boxed{\\cos{a}=\\cos{b}\\cdot\\cos{c}+\\sin{b}\\cdot\\sin{c}\\cdot\\cos{\\alpha}}
\n\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

Le altre due forme del teorema del coseno, riferite ai lati $b$ e $c$, si scrivono facilmente:<\/p>\n\n\n\n

$$\\cos{b}=\\cos{a}\\cdot\\cos{c}+\\sin{a}\\cdot\\sin{c}\\cdot\\cos{\\beta}$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\cos{c}=\\cos{a}\\cdot\\cos{b}+\\sin{a}\\cdot\\sin{b}\\cdot\\cos{\\gamma}$$<\/p>\n\n\n\n<\/a>\n\n\n\n

Teorema dei seni<\/h4>\n\n\n\n

E’ paragonabile all’omonimo teorema<\/a> di trigonometria piana: il rapporto fra il seno di un angolo ed il seno del lato opposto \u00e8 costante (vedi la dimostrazione<\/a>):<\/p>\n\n\n

\\begin{equation}\\tag{2}\\label{eq2}
\n\\boxed{\\frac{\\sin{\\alpha}}{\\sin{a}}=\\frac{\\sin{\\beta}}{\\sin{b}}=\\frac{\\sin{\\gamma}}{\\sin{c}}}
\n\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n<\/a>\n\n\n\n

Teorema delle proiezioni<\/h4>\n\n\n\n

E’ la terza formula fondamentale: essa mette in relazione due angoli e tre lati (vedi dimostrazione<\/a>):<\/p>\n\n\n

\\begin{equation}\\tag{3}\\label{eq3}
\n\\boxed{\\sin a \\cdot \\cos \\beta = \\cos b \\cdot \\sin c – \\sin b\\cdot\\cos c \\cdot \\cos \\alpha}
\n\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

Cambiando il senso del percorso, pu\u00f2 essere scritta anche cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\n

$$\\sin a \\cdot \\cos\\gamma=\\cos c \\cdot \\sin b – \\sin c \\cdot \\cos b \\cdot \\cos \\alpha$$<\/p>\n\n\n\n

Riassumo sinteticamente nel seguente riquadro le tre formule fondamentali (1),(2) e (3) scritte in una modalit\u00e0 che ci sar\u00e0 utile per le trasformazioni di coordinate sferiche<\/a>:<\/p>\n\n\n\n<\/a>\n\n\n\n

\\begin{align*}
\n\\cos{a}&=\\cos{b}\\cdot\\cos{c}+\\sin{b}\\cdot\\sin{c}\\cdot\\cos{\\alpha} \\\\
\n\\sin a\\cdot\\sin \\beta &=\\sin{\\alpha}\\cdot\\sin{b}\\\\
\n\\sin a \\cdot \\cos \\beta &= \\cos b \\cdot \\sin c – \\sin b\\cdot\\cos c \\cdot \\cos \\alpha
\n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

Per chi \u00e8 interessato, la prossima pagina contiene le dimostrazioni dei tre teoremi<\/a>.<\/p>\n\n\n\n\n