{"id":5513,"date":"2020-11-26T23:44:03","date_gmt":"2020-11-26T22:44:03","guid":{"rendered":"https:\/\/eratostene.vialattea.net\/wpe\/?page_id=5513"},"modified":"2021-08-14T16:17:45","modified_gmt":"2021-08-14T14:17:45","slug":"lellisse","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/eratostene.vialattea.net\/wpe\/argomenti\/geometria-utile\/lellisse\/","title":{"rendered":"L’ellisse"},"content":{"rendered":"\n
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Si pu\u00f2 facilmente disegnare un’ellisse usando una cordicella, due chiodini e una matita. Si stende il foglio su un piano di legno, si piantano i due chiodini e si legano ad essi i due capi della cordicella. Quindi si traccia una curva girando attorno ai chiodini, avendo cura di mantenere sempre in tensione la cordicella la quale limiter\u00e0 il movimento della matita.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Questa costruzione dell’ellisse \u00e8 interessante perch\u00e9 contiene <\/em>la sua definizione. <\/p>\n\n\n\n

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Infatti l’ellisse \u00e8 una curva i cui punti rispettano la seguente legge: fissati due punti chiamati fuochi<\/strong>, la somma delle distanze tra un qualsiasi punto dell’ellisse e i fuochi \u00e8 un valore costante (questa somma \u00e8 la lunghezza della cordicella).<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

L’ellisse ha una forma di cerchio “schiacciato” e perci\u00f2 non possiede un diametro ma un asse maggiore $AB$ e un asse minore $MN$. Chiameremo $a$ e $b$ le lunghezze del semiasse maggiore<\/strong> e del semiasse minore<\/strong> rispettivamente. L’intersezione degli assi \u00e8 il punto $O$, chiamato centro dell’ellisse<\/strong>. I due fuochi $F’$ e $F^{”}$ si trovano sempre sull’asse maggiore e in posizioni simmetriche rispetto al centro. La lunghezza della cordicella corrisponde alla somma $PF’+PF ^{”}$ che per definizione deve essere costante. Tale lunghezza \u00e8 uguale all’asse maggiore, $2a$, dell’ellisse. Lo si capisce facilmente portando la matita nel punto $A$; in questa posizione la cordicella \u00e8 composta dai due tratti $AF^{”} $ e $AF’$ e quindi avremo:<\/p>\n\n\n\n

$$AF^{”} +AF’=AF^{”} +BF^{”} =AB=2a$$<\/p>\n\n\n\n

Se si porta la matita nel punto $M$ le due distanze $MF’$ e $MF^{”} $ diventano uguali tra loro e quindi uguali al semiasse maggiore $a$. Chiamiamo $c$ la distanza tra un fuoco e il centro dell’ellisse e costruiamo il triangolo rettangolo $MOF^{”} $ retto in $O$. L’ipotenusa \u00e8 il semiasse maggiore $a$ e i cateti sono il semiasse minore $b$ e la distanza $c$.<\/p>\n\n\n\n

Si definisce eccentricit\u00e0 <\/strong>dell’ellisse $e$ il rapporto:<\/p>\n\n\n\n

$$e=\\frac{c}{a}$$<\/p>\n\n\n\n

Essendo $c=\\sqrt{a^2-b^2}$, si pu\u00f2 scrivere $e$ in funzione dei semiassi:<\/p>\n\n\n\n

$$e=\\frac{\\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$ oppure $$e=\\sqrt{1- \\left( \\frac{b}{a} \\right)^2}$$<\/p>\n\n\n\n

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L’eccenticit\u00e0 $e$ \u00e8 un valore compreso tra 0 e 1 e indica il “grado di schiacciamento” dell’ellisse. Il cateto $c$ non pu\u00f2 mai essere maggiore dell’ipotenusa $a$ ma, se si allontanano tra loro i fuochi, tende ad essere uguale ad $a$.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Quindi, se la distanza tra i fuochi \u00e8 di poco inferiore alla lunghezza della cordicella, l’ellisse \u00e8 molto schiacciata e la sua eccentricit\u00e0 $e$ si avvicina al valore 1. <\/p>\n\n\n\n

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Se invece la distanza tra i fuochi \u00e8 molto piccola rispetto alla lunghezza della cordicella, il semiasse maggiore $a$ \u00e8 poco pi\u00f9 grande del semiasse minore $b$; ne risulta un’ellisse molto poco schiacciata, che tende ad assomigliare ad un cerchio e il valore dell’eccentricit\u00e0 si avvicina allo zero. <\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

L’eccentricit\u00e0 dell’orbita terrestre \u00e8 attualmente 0,0167, relativamente piccola rispetto a quella degli altri pianeti. Il pianeta con maggiore eccentricit\u00e0 \u00e8 Mercurio (0,2056) mentre Nettuno possiede il valore minimo (0,0097). L’eccentricit\u00e0 dei pianeti subisce piccole variazioni nel tempo, dovute all’attrazione gravitazionale reciproca.<\/p>\n\n\n\n

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Un metodo grafico per disegnare un’ellisse \u00e8 descritto nella pagina relativa alla costruzione di un orologio solare analemmatico<\/a>. Si tratta di disegnare due cerchi concentrici i cui diametri sono uguali rispettivamente all’asse maggiore e all’asse minore dell’ellisse. Per trovare un punto dell’ellisse, si traccia un raggio e dai punti di intesezioni del raggio con le due circonferenze si disegnano una retta parallela all’asse maggiore dell’ellisse e un’altra perpendicolare. L’incrocio di queste due ultime rette \u00e8 un punto dell’ellisse.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

L’ellisse si ottiene anche come proiezione ortografica<\/a> di un cerchio non parallelo al piano di proiezione. Ad esempio, nel diagramma orario<\/a>, l’eclittica \u00e8 rappresentata come un’ellisse.<\/p>\n\n\n\n\n