Suggerimenti per la costruzione
Lo strumento che è stato descritto alla pagina precedente, che rappresenta una variazione del cerchio di Ipparco è relativamente facile da calcolare ma credo che la sua costruzione sia impegnativa. Le difficoltà che immagino stanno nella scelta dei materiali adatti per costruire degli anelli sottili ma poco deformabili e nella costruzione di una struttura di sostegno che li tenga assieme e bene allineati.
1) Struttura complessiva
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2020/12/TEMA-DI-IPPARCO-SCHEMA-GENERALE.jpg)
Lo schema a fianco rappresenta una sezione meridiana. Dell’anello equinoziale si vede la sua larghezza $e$. Gli anelli solstiziali sono rappresentati di profilo. In particolare, l’anello solstiziale sud è mostrato dentro al suo cono di costruzione $ABC$ con base $AB$ e vertice nel centro $C$ dello strumento. L’angolo $\delta_s$ è uguale a $\text{23,4}^\circ$.
Lo stilo polare è orientato, come dice il nome stesso, in direzione dell’asse celeste. Per fare questo, la sua inclinazione rispetto alla linea meridiana dev’essere un angolo pari alla latitudine del luogo $\varphi$.
L’intera struttura dei tre anelli e dello stilo polare è tenuta assieme da un’ellisse che dev’essere orientata con il piano meridiano. Per questo motivo la chiamo ellisse meridiana.
2) L’anello equinoziale
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2020/12/TEMA-DI-IPPARCO-ANELLO-EQUINOZIALE.jpg)
E’ un anello piatto. La scelta della misura del suo raggio esterno $R$ decide le dimesioni generali dello strumento. La larghezza $e$ dell’anello può essere scelta arbitrariamente. Dal rapporto tra $e$ e $R$ dipende anche lo spessore degli anelli solstiziali e delle ombre che proiettano. Io suggerirei all’incirca $e\simeq\frac{1}{5}R$.
3) Gli anelli solstiziali
Come si è detto gli anelli solstiziali sono superfici di tronchi di cono o fasce di una superficie conica la cui semiapertura dev’essere uguale a $90^\circ-\text{23,4}^\circ=\text{66,6}^\circ$. Per semapertura intendo l’angolo che la generatrice della superficie conica forma con il suo asse.
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2020/12/TEMA-DI-IPPARCO-CONO.jpg)
Nell’immagine qui a fianco si rappresenta il cono di costruzione dal quale si dovrà ritagliare la fascia per costruire l’anello solstiziale.
L’apotema del cono $a=CA$, la sua altezza $h=CH$ e il suo raggio $r=AH$ formano un triangolo rettangolo retto in $H$. La semiapertura è l’angolo $A\hat{C}H$. Di conseguenza l’angolo $C\hat{A}H=\delta_s$ dev’essere uguale, in valore assoluto, alla declinazione del Sole ai solstizi:
$$\delta_s = C\hat{A}H = \text{23,4}^\circ$$
Il raggio $r$ è il raggio esterno dell’anello solstiziale e dev’essere uguale alla metà del raggio $R$ dell’anello equinoziale. Le ragioni di ciò saranno spiegate in seguito. La larghezza $s$ della fascia conica non deve essere scelta a piacere ma dipende, come vedremo, dalla larghezza $e$ dell’anello equinoziale.
Di conseguenza, le misure di $a$, $r$ e $h$ si calcolano in funzione di $R$ con le seguenti formule:
$$r=\frac{R}{5}$$
$$h=r\tan{\delta_s}$$
$$a=\frac{r}{\cos{\delta_s}}$$
4) Come si producono le ombre?
Per ottenere l’estetica delle ombre descritte nella pagina introduttiva, sono necessarie alcune condizioni che esaminiamo con l’aiuto di una figura.
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2020/12/TEMA-DI-IPPARCO-PRODUZIONE-DELLE-OMBRE-833x1024.jpg)
Lo strumento è posizionato con lo stilo polare in direzione dell’asse celeste e il disco equinoziale disposto sul piano dell’equatore celeste.
Si consideri il mezzogiorno vero di un solstizio di giugno. I raggi di sole ($m,n,o,p$ e $q$) scendono paralleli tra loro, con una certa inclinazioe rispetto al piano dell’orizzonte. Essi formano comunque un angolo $\delta_s$ con il piano dell’equatore. Gli anelli devono essere costruiti con le proporzioni e le distanze corrette in modo che:
- il raggio $m$ deve passare per i bordi esterni inferiori dell’anello solstiziale nord e dell’anello equinoziale, così come il raggio $q$ deve passare per i bordi esterni superiori dell’anello equinoziale e dell’anello solstiziale sud.
- il raggio $o$ che passa per il centro dello strumento deve passare “di taglio” per il bordo superiore dell’anello solstiziale nord e per quello inferiore dell’anello solstiziale sud. In questo modo esso proietterà l’ombra del punto centrale di tangenza delle ombre degli anelli solstiziali.
- I raggi $n$ e $p$, passando per i bordi interni degli anelli, dimostrano che, se si desidera ottenere un’ombra complessiva esteticamente valida, le larghezze $e$ e $s$ degli anelli non possono essere scelte a caso ma devono essere in relazione matematica tra loro.
5) Proporzioni complessive
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2020/12/TEMA-DI-IPPARCO-PROPORZIONI-1.jpg)
Il rispetto delle regole per la costruzione di un’ombra esteticamente valida impone delle proporzioni e delle distanze precise. Le proporzioni che ne risultano sono inaspettatamente facili da calcolare. Se si osserva la figura, si scopre che tutti i triangoli disegnati sono isosceli e congruenti o simili tra loro. Ciò è dovuto alla ripetizione dell’angolo $\delta_s$ in ognuno di essi. In particolare, il triangolo $CAB$, che è la sezione del cono descritto prima, è congruente al triangolo il triangolo $CBD$. Ne deriva che la base $AB=2r=R$, perciò ecco il motivo per cui il raggio $r$ degli anelli solstiziali deve essere la metà del raggio $R$ degli anelli equinoziali.
Inoltre, la similitudine tra il triangolo $CBD$ e il triangolo $EFD$ ci permette di calcolare con una semplice proporzione la larghezza $s$ degli anelli solstiziali in funzione della larghezza $e$ dell’anello equinoziale che, come abbiamo detto, può essere scelto a piacere:
$$\frac{EF}{ED}=\frac{CB}{CD}$$
Sapendo che $CB$ è l’apotema $a$ del cono descritto prima, $CD$ è il raggio $R$ dell’anello equinoziale, $ED$ è la sua larghezza $e$, ed infine $EF$ è uguale alla larghezza $s$ dell’anello solstiziale, possiamo scrivere più semplicemente:
$$\frac{s}{e}=\frac{a}{R}$$
e quindi calcolare $s$ in funzione degli altri parametri:
$$s=\frac{ae}{R}$$
6) Come costruire la fascia degli anelli solstiziali?
Se si riprende a osservare la seconda figura di questa pagina, la fascia descritta di larghezza $s$ è una parte della superficie conica di un cono di cui sono noti l’apotema $a$, e il raggio $r$. Se si sviluppa la superficie conica ritagliandola lungo un suo apotema e la si appiattisce, si ottiene un settore circolare.
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2020/12/TEMA-DI-IPPARCO-SVILUPPO-CONO-1.jpg)
Il settore sottende un arco lungo $L=2r\pi$ perché è uguale alla circonferenza di base del cono decritto al paragrafo 3; questo settore fa parte di una circonferenza $C$ il cui raggio è uguale all’apotema $a$ del cono, perciò essa è lunga:
$$C=2a\pi$$
Per calcolare l’ampiezza $\theta$ di questo settore, che è il dato utile per la costruzione della fascetta, si può far ricorso alla proporzionalità che esiste tra gli archi e gli angoli al centro corrispondenti:
$$\frac{L}{C}=\frac{\theta}{360^\circ}$$
da cui:
$$\theta = \frac{L\cdot360^\circ}{C}=\frac{2r\pi\cdot360^\circ}{2a\pi}=\frac{r}{a}\cdot360^\circ$$
Il rapporto $\frac{r}{a}$ è facilmente deducibile dal triangolo rettangolo $CHA$ descritto al paragrafo 3:
$$\frac{r}{a}=\cos{\delta_s}$$
per cui si calcola $\theta$ in questo modo:
$$\theta = 360^\circ\cdot\cos{\delta_s} =330^\circ$$
7) Posizionamento dello strumento
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2020/12/TEMA-DI-IPPARCO-posizionamento.jpg)
Il triangolo di sostegno $CPQ$ è retto in $C$. Conviene partire dalla scelta della distanza $CP$ che dev’essere maggiore di $R$ e quindi calcolare gli altri due lati:
$$PQ = \frac{CP}{\sin{\varphi}}$$
$$CQ=\frac{PC}{\tan{\varphi}}$$
8) Un esempio di calcolo
INPUT
$R=25$ Raggio dell’anello equinoziale
$e=6$ Larghezza dell’anello equinoziale
$CP=30$ Sostegno
$\varphi=42^\circ$ Latitudine
OUTPUT
$r=\text{12,4}$ Raggio degli anelli solstiziali
$h=\text{5,4}$ Distanza tra gli anelli solstiziali e l’anello equinoziale
$a=\text{13,6}$ Apotema del cono e raggio del cerchio per la costruzione della fascia solstiziale
$s=\text{3,3}$ larghezza della fascia solstiziale
$PQ=\text{44,8}$ Base di appoggio
$CQ=\text{33,3}$ Segmento di stilo di appoggio dal centro dello strumento