Progettazione
La forma finale dell’orologio analemmatico è quella di un arco di ellisse. Si può partire con la scelta delle dimensioni del suo semiasse maggiore $R$ che si disporrà lungo la linea est-ovest. Questa misura ci darà l’idea dello spazio occupato dal quadrante. Un altro fattore importante è, come sempre, la latitudine $\varphi$ del luogo dove sarà posizionata la meridiana. Se si desidera costruire una meridiana da giardino con gnomone “umano”, consiglio un valore di $R$ compreso tra $1\text{,5}m$ e $2m$. Se gli utenti principali saranno i bambini si può ridurre in proporzione il valore di $R$.
Ecco i passi da seguire per la costruzione:
1. Si tracci la linea meridiana $NS$ con uno dei metodi descritti nel nostro sito e si decida la posizione del punto $O$ che diventerà il centro della meridiana.
2. Con centro in $O$ e raggio $R$ si tracci una circonferenza che chiameremo circonferenza maggiore.
3. Sempre con centro $O$ si tracci una circonferenza di raggio $r$ calcolato in base alla seguente formula:
$$r = R\sin{\varphi}$$
La chiameremo circonferenza minore. La lunghezza $r$ è l’asse minore dell’ellisse finale. Dalla formula si evince che l’ellisse di una meridiana analemmatica costruita ad elevate latitudini avrà eccentricità minore e assomiglierà ad un cerchio. Viceversa, l’eccentricità all’equatore sarà massima e l’ellisse degenera in una semplice linea equinoziale.
Il prossimo passo è l’identificazione grafica dei punti orari. Ogni punto orario si identifica per mezzo di una semiretta di costruzione specifica. Anche in questo caso, due semirette distanziate di $15^\circ$ corrispondono all’intervallo di un’ora solare. La semiretta del mezzogiorno è quella rivolta a nord. Dal mezzogiorno, andando in senso orario, si disegnano via via le semirette pomeridiane, e viceversa. Infatti l’ombra di uno gnomone si comporta allo stesso modo: se il Sole è a oriente l’ombra punta al versante occidentale, e viceversa.
Vediamo come esempio il modo per determinare il punto orario delle ore $10$ separato di $2$ ore dal mezzogiorno. La sua semiretta di costruzione deve formare, rispetto alla semiretta del mezzogiorno, un angolo di $15^\circ\times2=30^\circ$ verso occidente.
- Si tracci la semiretta $OT$ inclinata in senso antiotario di $30^\circ$ rispetto al nord. Questa semiretta interseca la circonferenza maggiore nel punto $H$ e la circonferenza minore nel punto $K$.
- Si tracci la retta $HH’$ parallela alla linea meridiana.
- Si tracci la retta $KK’$ perpendicolare alla linea meridiana.
L’incrocio tra queste due semirette è il punto orario delle ore $10$
Questa operazione va ripetuta dalle 12 alle 14 volte, per coprire l’intervallo che va dalle ore 5 o 6, alle ore 18 o 19. Non sarà noiosa, bensì piacevole perché si ha la soddisfazione di vedere i punti orari disporsi via via lungo un arco di ellisse che disegna la caratteristica forma di questa meridiana.
In alternativa alle rette di costruzione si può usare il metodo del piano cartesiano. Con l’aiuto di una calcolatrice o di un semplice foglio di calcolo si possono trovare le coordinate $x$ e $y$ di ciascun punto orario. Il parametro di base è l’ora $h$ del punto da disegnare, partendo dalla mezzanotte, cioè dalla semiretta $OS$ in senso orario.
1) l’ora $h$, espressa in ore, va convertita per ottenere un corrispondente valore $\alpha$ in gradi:
$$\alpha = h\times 15^\circ$$
2) Si calcolano le coordinate $x$ e $y$ del punto orario:
$$x=R\cos{(\alpha+90^\circ)}$$
$$y=-r \sin{(\alpha+90^\circ)}$$
3) Tali coordinate si riferiscono al piano cartesiano il cui asse $Y$ è la linea meridiana e il cui asse $X$ è l’equinoziale.
Ecco come si presenta la disposizione dei punti orari. Le linee di costruzione e le due circonferenze si cancellano successivamente.
L’ultimo passo consiste nel definire la scala delle date cioè la serie di punti in cui posizionare lo gnomone (o la persona) in funzione della data.
I punti della scala delle date si dispongono lungo la linea meridiana in due serie a nord e a sud della linea equinoziale. La linea equinoziale può essere cancellata ma il punto $O$, centro dell’orologio solare, va mantenuto ed evidenziato perché corrisponde alla posizione dello gnomone nei giorni degli equinozi. Non solo: esso fa da riferimento per il calcolo e il posizionamento delle altre date. Ciascuna di esse si troverà a un certa distanza $Z$ dal punto centrale. Per il calcolo di $Z$ è necessario conoscere le declinazioni $\delta$ del Sole alle date che si scelgono come significative. I valori della declinazione del Sole si possono ricavare da un almanacco oppure, più comodamente, dal nostro semplice calcolatore delle declinazioni solari che, per questo scopo, fornisce una precisione più che sufficiente.
Propongo di scegliere una dozzina di date. Un numero maggiore sarebbe inutile e complicherebbe la scrittura delle date sul quadrante. Una buona scelta è la serie dei primi giorni di ogni mese oppure del quindicesimo giorno di ogni mese.
La formula da utilizzare per calcolare $Z$ è la seguente:
$$Z=R\cos{\varphi}\tan{\delta}$$
I valori di $Z$ positivi rappresentano le distanze dal centro $O$ verso nord, quelli negativi verso sud.
E’ sulla scala delle date che andremo a posizionare, di volta in volta, lo gnomone verticale (oppure noi stessi) per proiettare l’ombra e leggere l’ora.
Nelle prossime pagine, per i più pigri forniamo un modulo di calcolo automatico del quadrante, e per i più curiosi spiegherò il perché di queste formule.