Osserviamo il triangolo sferico $ZPA$. E’ il famoso triangolo di posizione dove $Z$ è lo zenit, $P$ è il polo nord celeste e $A$ è l’astro, che nel nostro caso è il Sole all’orizzonte nel suo punto del sorgere. In questa situazione particolare il triangolo di posizione è un triangolo rettilatero perché la distanza zenitale $z$ è un arco di $90^\circ$ essendo uguale alla distanza tra lo zenit e l’orizzonte.
Ricordiamo che gli altri due lati del triangolo di posizione sono la colatitudine $c$ e la distanza polare $p$ e che gli angoli sferici sono l’angolo azimutale $\widehat{Z}$, l’angolo parallattico $\widehat{A}$ e l’angolo al polo $\widehat{P}$ .
Possiamo applicare la regola di Nepero al triangolo rettilatero per calcolare l’angolo al polo $\widehat{P}$ in funzione dei due lati $c$ e $p$:
$$\cos (180^\circ-\widehat{P})= \cot c\cdot\cot p$$
Sapendo che:
- $\cos (180^\circ-\widehat{P})=-cos\widehat{P}$
- $\cot c=\cot(90^\circ-\varphi)=\tan \varphi$
- $\cot p=\cot(90^\circ-p)=\tan p$
Possiamo concludere con l’uguaglianza che volevamo dimostrare:
$$\boxed{cos\widehat{P}=-\tan\varphi\cdot\tan\delta}$$