Il quadrato delle ombre è un antico calcolatore analogico di tangenti, strettamente legato all’uso dello gnomone. Esso simulava l’ombra di uno gnomone verticale (umbra recta) e, contemporaneamente quella di uno gnomone verticale (umbra versa).
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/quadrato-delle-ombre-museo-galileo-2.jpg)
Il quadrante del 1568, firmato da Giovanni Battista Giusti, artigiano costruttore di strumenti scientifici, presenta un quadro delle ombre con scala duodecimale. Lo strumento è conservato al Museo Galileo di Firenze.
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/astrolabio-con-quadrato-ombre-museo-galileo.jpg)
Sempre al Museo Galileo di Firenze è conservato questo astrolabio di Johann Richter (Altdorf, 1591) il cui retro presenta due quadrati delle ombre con scala duodecimale.
Il matematico e astronomo austriaco Georg von Peurbach (1423-1461) codificò lo strumento nel suo trattato Quadratum Geometricum, ma la sua origine è più antica, legata all’uso dello gnomone.
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/QUADRATO-DELLE-OMBRE-generale-1-1024x586.jpg)
Il quadrato delle ombre è essenzialmente un quadrato con due lati graduati, generalmente suddivisi in 12, 24 o 48 tacche. La scala orizzontale simula l’ombra proiettata su un piano orizzontale da uno gnomone verticale e per questo motivo è chiamata UMBRA RECTA.
La scala verticale invece simula l’ombra proiettata da uno gnomone orizzontale su una parete verticale; di qui il suo nome UMBRA VERSA. La lancetta, un’alidada spesso dotata di pinnule forate e di due mirini, era adatta per essere allineata con i raggi solari o con un oggetto di osservazione. Essa mette in corrispondenza un valore della scala esterna in gradi con un valore delle umbrae.
La scala esterna graduata da $0^\circ$ a $90^\circ$ indica l’angolo di inclinazione dei raggi solari rispetto al piano orizzontale, cioè l’altezza del Sole, che qui abbiamo rappresentato con l’angolino di colore verde $h$. Si noti che l’angolino $h’$, colorato di rosso è il complementare di $h$ e quindi è la distanza zenitale del Sole. Perciò:
$$h’=90^\circ-h$$
Sia la scala dell’umbra recta che quella dell’umbra versa, in questo caso, sono lunghe $24$ unità. E’ poco importante di che unità si tratti perché ciò che conta è che lo gnomone sia immaginato lungo $24$ unità.
Lo strumento permette una lettura diretta delle funzioni tangente e cotangente. Se $h$, letto sulla scala esterna, è maggiore di $45^\circ$, esso corrisponde ad un valore $r$ letto sull’umbra recta. Come abbiamo detto, lo gnomone $g$ è lungo $24$ unità, perciò:
$$\frac{g}{r}=\frac{24}{r}=\tan{h}$$
Se $h$ è minore di $45^\circ$, conviene utilizzare il suo complementare $h’=90^\circ-h$ perché l’alidada va a incontrare l’umbra versa. In questo caso:
$$\frac{g}{v}=\frac{24}{v}=\tan{h’}=\frac{1}{\tan{h}}=\cot{h}$$
In sintesi, le due formule utili sono le seguenti, rispettivamente la prima per l’umbra recta e la seconda per l’umbra versa:
$$\boxed{\tan{h}=\frac{g}{r}}$$
$$\boxed{\tan{h}=\frac{v}{g}}$$
Se l’angolo $h$ è uguale a $45^\circ$, è l’umbra media: $g=v=r$ e quindi $\frac{g}{r}=\tan{h}=\cot{h}=1$: lo gnomone proietta un’ombra è uguale a sé.
Senza disturbare la trigonometria, si può trattare il quadrato delle ombre come uno strumento che sfrutta la similitudine tra due triangoli rettangoli e tutto si risolve con le adeguate proporzioni. Se si allinea l’alidada con i raggi solari, il rapporto tra $g=24$ e il valore letto su una delle due umbrae è in relazione con il rapporto tra l’altezza di un edificio $A$ e la lunghezza della sua ombra simultanea $B$.
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/similitudini-1024x949.jpg)
Se $h>45^\circ$ si legge $r$ sull’umbra recta:
$$\boxed{\frac{A}{B}=\frac{g}{r}}$$
Se $h<45^\circ$ si legge $v$ sull’umbra versa:
$$\boxed{\frac{A}{B}=\frac{v}{g}}$$
Il quadrato delle ombre è di facile costruzione: le scale delle umbrae si possono impostare a piacere; maggiore il numero di tacche, maggiore è la precisione che si ottiene (una scala decimale forse è più adatta alle nostre abitudini). Può essere disegnato su un quadrante fisso o mobile, a seconda dell’uso che se ne può fare. Un quadrante fisso va associato ad un’alidada mentre il quadrante mobile va dotato di un filo a piombo.
Vediamo alcuni esempi di problemi pratici, astronomici o puramente geometrici, risolti con il quadrato delle ombre.
PROBLEMA 1
Ad una certa ora del giorno, una torre proietta un’ombra lunga 26 metri. L’altezza del Sole, misurata con l’alidada, indica $56^\circ$. Quanto è alta la torre?
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/prob-01.jpg)
L’angolo $h$ è minore di $45^\circ$ perciò si legge $r$ sulla scala dell’umbra recta che indica il valore $16$. Perciò:
$$\frac{A}{B}=\frac{g}{r}$$
$$\frac{A}{26m}=\frac{24}{16}$$
$$A=26m\cdot\frac{24}{16}=39m$$
La torre è alta 39 metri.
PROBLEMA 2
Un edificio proietta un’ombra lunga 44 metri e il quadrato delle ombre misura contemporaneamente $19°$ di altezza del Sole. Quanto è alto l’edificio?
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/prob-02.jpg)
In questo caso l’altezza del Sole $h$ è minore di $45^\circ$, perciò si legge $v$ sulla scala dell’umbra versa che indica il valore $8$:
$$\frac{A}{B}=\frac{v}{g}$$
$$\frac{A}{44m}=\frac{8}{24}$$
$$A=44m\cdot\frac{8}{24}=14,6m$$
L’edificio è alto circa 14 metri e mezzo.
PROBLEMA 3
Un bastone alto $150 cm$ proietta un’ombra lunga $125cm$. Qual’è l’altezza del Sole?
In questo caso non si usa il quadrato delle ore per misurare ma per eseguire un calcolo trigonometrico. Si procede calcolando il valore $r$ dell’umbra recta. Infatti, se l’altezza del bastone è maggiore della sua ombra, l’altezza del Sole è maggiore di $45^\circ$:
$$\frac{A}{B}=\frac{g}{r}$$
$$\frac{150m}{125m}=\frac{24}{r}$$
da cui:
$$r=24\cdot\frac{125}{150}=20$$
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/prob-03.jpg)
A questo punto si allinea l’alidada sul valore $20$ dell’umbra recta e si trova il corrispondente valore in gradi dell’altezza del Sole sulla scala graduata: $h=50^\circ$.
PROBLEMA 4
Un bastone alto $150 cm$ proietta un’ombra lunga $180 cm$. Qual’è l’altezza del Sole?
E’ un problema molto simile al precedente ma, in questo caso si utilizza l’umbra versa perché l’altezza del Sole è minore di $45^\circ$. Perciò:
$$\frac{A}{B}=\frac{v}{g}$$
”$$\frac{150cm}{180cm}=\frac{v}{24}$$
$$v=\frac{150}{180}\cdot24=20$$
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/prob-04.jpg)
Si posiziona l’alidada sul valore $20$ dell’umbra versa e si ottiene il corrispondente valore in gradi dell’altezza del Sole: $h=40^\circ$
PROBLEMA 5
Quanto vale la tangente di $74^\circ$?
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/prob-05.jpg)
A differenza dei problemi precedenti, in questo caso e nei prossimi, il quadrato delle ombre è usato come calcolatore analogico tascabile, non più come strumento di misura. Si posiziona l’alidada sui $74^\circ$ e si legge il valore $r=7$ sulla scala dell’umbra recta.
Il valore della tangente di $74^\circ$ si ottiene da una semplice divisione. Dato che nell’umbra recta vale la relazione:
$$\tan{h}=\frac{g}{r}$$
$$\tan 74^\circ = \frac{24}{7}=3,4$$
PROBLEMA 6
Quanto vale la tangente di $12^\circ$?
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/prob-06.jpg)
In corrispondenza ai $12^\circ$ si legge il valore $v=5$ sull’umbra versa. Perciò:
$$\tan{h}=\frac{v}{g}$$
$$\tan{12^\circ}=\frac{5}{24}=0,2$$
PROBLEMA 7
La tangente di un angolo è $0,75$. Quanto vale l’angolo?
![](https://eratostene.vialattea.net/wpe/wp-content/uploads/2021/01/prob-07-1.jpg)
In questo caso usiamo il quadrato delle ombre come calcolatore della funzione arcotangente. Il valore della tangente è minore di $1$ perciò si utilizza la formula dell’umbra versa:
$$\tan{h}=\frac{v}{g}$$
Da cui si ricava $v$:
$$v=0,75\cdot24=18$$
Ora si allinea l’alidada sul valore $18$ della scala dell’umbra versa e si ottiene la corrispondenza dei $37^\circ$ sulla scala graduata esterna. Perciò:
$$\arctan{0,75} = 37^\circ$$