Un triangolo sferico è una parte di superficie sferica delimitata da tre archi di cerchi massimi:

$\overset{\frown}{BC}=a$
$\overset{\frown}{CA}=b$
$\overset{\frown}{AB}=c$

I tre vertici del triangolo ($A$, $B$ e $C$) sono vertici di altrettanti angoli sferici interni:

$\hat{A}=\alpha$
$\hat{B}=\beta$
$\hat{C}=\gamma$

Se la sfera ha raggio unitario, le lunghezze dei lati si possono esprimere, in radianti, come ampiezze dei corrispondenti angoli al centro:

$$a=C\hat{O}B$$

$$b=A\hat{O}C$$

$$c=A\hat{O}B$$

Le principali formule riguardanti il triangolo sferico sono l’espressione di tre teoremi: il teorema del coseno (o di Eulero), il teorema dei seni e il teorema delle proiezioni. Sono anche chiamate formule fondamentali perché in base ad esse si possono ricavare tutte le altre.

Teorema del coseno (formule di Eulero)

E’ in qualche modo paragonabile al teorema di Carnot della trigonometria piana e permette di calcolare il coseno di un lato conoscendo gli altri due lati e l’angolo compreso fra essi (vedi la dimostrazione).

\begin{equation}\tag{1}\label{eq1}
\boxed{\cos{a}=\cos{b}\cdot\cos{c}+\sin{b}\cdot\sin{c}\cdot\cos{\alpha}}
\end{equation}

Le altre due forme del teorema del coseno, riferite ai lati $b$ e $c$, si scrivono facilmente:

$$\cos{b}=\cos{a}\cdot\cos{c}+\sin{a}\cdot\sin{c}\cdot\cos{\beta}$$

$$\cos{c}=\cos{a}\cdot\cos{b}+\sin{a}\cdot\sin{b}\cdot\cos{\gamma}$$

Teorema dei seni

E’ paragonabile all’omonimo teorema di trigonometria piana: il rapporto fra il seno di un angolo ed il seno del lato opposto è costante (vedi la dimostrazione):

\begin{equation}\tag{2}\label{eq2}
\boxed{\frac{\sin{\alpha}}{\sin{a}}=\frac{\sin{\beta}}{\sin{b}}=\frac{\sin{\gamma}}{\sin{c}}}
\end{equation}

Teorema delle proiezioni

E’ la terza formula fondamentale: essa mette in relazione due angoli e tre lati (vedi dimostrazione):

\begin{equation}\tag{3}\label{eq3}
\boxed{\sin a \cdot \cos \beta = \cos b \cdot \sin c – \sin b\cdot\cos c \cdot \cos \alpha}
\end{equation}

Cambiando il senso del percorso, può essere scritta anche così:

$$\sin a \cdot \cos\gamma=\cos c \cdot \sin b – \sin c \cdot \cos b \cdot \cos \alpha$$

Riassumo sinteticamente nel seguente riquadro le tre formule fondamentali (1),(2) e (3) scritte in una modalità che ci sarà utile per le trasformazioni di coordinate sferiche:

\begin{align*}
\cos{a}&=\cos{b}\cdot\cos{c}+\sin{b}\cdot\sin{c}\cdot\cos{\alpha} \\
\sin a\cdot\sin \beta &=\sin{\alpha}\cdot\sin{b}\\
\sin a \cdot \cos \beta &= \cos b \cdot \sin c – \sin b\cdot\cos c \cdot \cos \alpha
\end{align*}

Per chi è interessato, la prossima pagina contiene le dimostrazioni dei tre teoremi.

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