Si consideri il triangolo rettangolo in cui i cateti sono $a$ e $b$, l’ipotenusa è $i$, $\alpha$ è l’angolo opposto al cateto $a$ e $\beta$ è l’angolo opposto al cateto $b$.

Gli angoli $\alpha$ e $\beta$ sono complementari per cui conoscendone uno si determina l’altro:
$$\alpha+\beta=90^\circ $$
Per risolvere un triangolo rettangolo, di questi cinque valori è sufficiente conoscerne due, di cui almeno uno sia la misura di un lato.
Il teorema di Pitagora ci permette di determinare un lato conoscendo gli altri due:
$$i=\sqrt{a^2 + b^2}$$
$$a=\sqrt{i^2 – b^2}$$
$$b=\sqrt{i^2 – a^2}$$
I seguenti teoremi goniometrici mettono in relazione i cateti con l’ipotenusa e con un angolo acuto e permettono di risolvere il triangolo rettangolo:
$$\cos{\alpha}=\frac{b}{i}$$
$$\sin{\alpha} = \frac{a}{i}$$
$$\tan{\alpha} = \frac{a}{b} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
$$\cot{\alpha}=\frac{1}{\tan{\alpha}}=\frac{b}{a}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$$
Determinare un cateto conoscendo il suo angolo opposto e l’ipotenusa:
$$a = i\cdot\sin\alpha$$
$$b = i\cdot\sin\beta$$
Determinare un cateto conoscendo il suo angolo acuto adiacente e l’ipotenusa:
$$a = i\cdot\cos\beta$$
$$b = i\cdot\cos\alpha$$
Determinare un cateto conoscendo l’angolo acuto adiacente e l’altro cateto:
$$b=\frac{a}{\tan\alpha}$$
$$a=\frac{b}{\tan\beta}$$
Determinare un cateto conoscendo l’angolo opposto e l’altro cateto:
$$b=a\cdot\tan\beta$$
$$a=b\cdot\tan\alpha$$
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