Le tre coordinate sferiche polari sono una distanza (\rho) e due angoli (\theta e \phi) che servono a identificare un punto nello spazio una volta fissata l’origine (O) e tre assi ortogonali.

Un punto P è individuato dalla terna \rho, \theta e \phi  dove:

\rho è chiamato raggio vettore (distanza PO)

\theta è chiamato distanza zenitale o colatitudine (angolo formato da PO con l’asse z, dove O è l’origine degli assi)

\phi si chiama azimut o longitudine (angolo formato da OH con l’asse x dove H è la proiezione ortogonale del punto P sul piano xy).

Lo stesso punto P si può individuare utilizzando anche una terna di coordinate cartesiane rettangolari (x, y e z). 

Per passare dalle coordinate polari a quelle rettangolari, cioè da una terna (\rho, \theta, \phi) alla corrispondente terna (x, y, z) si utilizzano le seguenti relazioni:

(1)   \begin{equation*} x=\rho \sin\theta \cos \phi \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} y=\rho \sin \theta \sin \phi \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} z=\rho \cos \theta \end{equation*}

Viceversa, per ottenere le coordinate polari dalle rettangolari:

(4)   \begin{equation*} \rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} \phi =\arctan \left( \frac{y}{x} \right) \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} \theta = \arccos \left( \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \right) \end{equation*}

Un pensiero su “Conversione tra coordinate sferiche polari e rettangolari”

  • Marco Garuffo
    07/07/2023 alle 12:36 pm
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    Può essere utile ricordare che mentre con le coordinate cartesiane ortogonali ogni punto dello spazio ha sempre una terna ordinata di coordinate e viceversa.
    Altrettanto non succede le coordinata polari nello spazio. I punti sull’asse polare (abbinato usualmente con l’asse Z nel cambio coordinate) non hanno definita l’angolo azimut o longitudine o giacitura o attitude (anglofoni) tali punti hanno solo due coordinate ro, distanza da origine, e teta, distanza zenitale. Tranne il Polo O, che corrisonde con l’origine coordinate cartesiane che ha una sola coordinata polare ro=0. Questo di solito non crea problemi particolari a noi umani che intuiamo e gestiamo al volo le eccezioni, salvo si volesse scrivere un codice per calcolatore che sappia in ogni caso eseguire passaggj di coordinate e collocare cirrettamente i punti sulla sfera di rappresentazione.

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