Dimostrazione geometrica della formula di Eulero e del teorema dei seni

Questa dimostrazione, a mio parere interessante e istruttiva, mette a confronto gli elementi del triangolo sferico con una coppia di triangoli rettangoli piani “sottostanti”.

Consideriamo il triangolo sferico $ABC$ appartenente ad una sfera che ha per centro il punto $O$. Congiungiamo $O$ con i vertici del triangolo e fissiamo un punto qualsiasi $P$ su uno dei tre raggi, ad esempio su $OC$. Partendo da $P$ tracciamo due segmenti: $PQ$ perpendicolare ad $OA$ e $PR$ perpendicolare ad $OB$. Sul piano $OAB$ tracciamo due rette: $QS$ perpendicolare ad $OA$ ed $RS$ perpendicolare ad $OB$. Queste due rette si intersecano nel punto $S$. Infine si uniscono i punti $PS$ e $OS$ con due segmenti.

Se tracciamo le due tangenti al vertice $A$ (le frecce rosse), queste includono l’angolo sferico $\alpha$. Esse sono anche parallele ai lati $QP$ e $QS$ che sono stati costruiti in modo da essere entrambi perpendicolari al raggio $OA$. Perciò $\widehat{PQS}=\alpha$. Un discorso analogo si può fare per l’angolo sferico $\beta$ che sarà uguale all’angolo $\widehat{PRS}$. Inoltre: $\widehat{COB}=a$, $\widehat{COA}=b$ ed infine $\widehat{BOA}=c$.

Il primo passo è dimostrare che il segmento $PS$ è perpendicolare al piano $OAB$. Per costruzione, $OQ$ è perpendicolare sia a $QP$ che a $QS$, perciò $OA$ è perpendicolare al piano $PQS$. Quindi $OA$ è perpendicolare anche a $PS$, dato che quest’ultimo segmento si trova sul piano $PQS$. Un discorso analogo sull’altro “versante” dimostra che $OB$ è perpendicolare a $PS$. Dimostriamo così che $PS$, essendo perpendicolare sia ad $OA$ che ad $OB$, è perpendicolare anche al loro piano comune $OAB$.

Se $PS$ è perpendicolare al piano $OAB$, è perpendicolare anche ai segmenti $OS$, $QS$ e $RS$, anch’essi giacenti su tale piano. La conclusione è che i due triangololi $PSQ$ e $PSR$ sono rettangoli, entrambi con l’angolo retto al vertice $S$.

Dal triangolo rettangolo $OQP$ retto in $Q$ possiamo scrivere:

\begin{equation}\tag{1}\label{eq1}
OQ=OP\cdot\cos b
\end{equation}

\begin{equation}\tag{2}\label{eq2}
PQ=OP\cdot\sin b
\end{equation}

e dal triangolo rettangolo $ORP$ retto in $R$:

\begin{equation}\tag{3}\label{eq3}
OR=OP\cdot\cos a
\end{equation}

\begin{equation}\tag{4}\label{eq4}
PR=OP\cdot\sin a
\end{equation}

Chiamando $\theta$ l’angolo $\widehat{SOQ}$, possiamo scrivere $\widehat{SOR}=c-\theta$ e ricaviamo $OS$ risolvendo i due triangoli rettangoli $OQS$ e $OSR$:

$$OS=\frac{OQ}{\cos \theta}$$

e
$$OS=\frac{OR}{\cos(c-\theta)}$$

perciò:

$$\frac{OQ}{\cos \theta}=\frac{OR}{\cos(c-\theta)}$$

Sostituendo $OQ$ e $OR$ con la \eqref{eq1} e la \eqref{eq3} si ottiene:

$$\frac{OP\cdot\cos b}{\cos \theta}=\frac{OP\cdot\cos a}{\cos(c-\theta)}$$

che si trasforma in:

\begin{equation}\tag{5}\label{eq5}
\cos b\cdot\cos(c- \theta)=\cos a\cdot\cos \theta
\end{equation}

Per la regola della differenza possiamo scrivere:

$$\cos(c-\theta)=\cos c \cdot \cos\theta + \sin c \cdot \sin\theta$$

e sostituire nella \eqref{eq5} ottenendo:

$$\cos b \cdot \cos c \cdot \cos\theta + \cos b \cdot \sin c \cdot \sin\theta=\cos a \cdot \cos \theta$$

Ora dividiamo entrambi i membri per $\cos\theta$:

\begin{equation}\tag{6}\label{eq6}
\cos b \cdot \cos c + \cos b \cdot \sin c \cdot \tan\theta=\cos a
\end{equation}

Considerando il triangolo rettangolo $OQS$ possiamo scrivere:

$$\tan\theta = \frac{QS}{OQ} = \frac{PQ \cdot \cos\alpha}{OQ} = \tan b \cdot \cos\alpha$$

che, sostituito nella \eqref{eq6}, produce la formula di Eulero che volevamo dimostrare:

$$\boxed{\cos a = \cos b \cdot\cos c + \sin b\cdot \sin c \cdot\cos\alpha}$$

Dal triangolo $PQS$:

$$PS=PQ \cdot \sin\alpha$$

Dal triangolo $PRS$:

$$PS=PR \cdot \sin\beta$$

Quindi:

$$PQ \cdot \sin\alpha=PR \cdot \sin\beta$$

Però dalla \eqref{eq2} e \eqref{eq4}:

$$OP \cdot \sin {b} \cdot \sin{\alpha}=OP \cdot \sin {a} \cdot \sin{\beta}$$

ad cui ottieniamo la formula del teorema dei seni:

$$\boxed{\frac{\sin\alpha}{\sin a}=\frac{\sin\beta}{\sin b}}$$

Dimostrazione del teorema delle proiezioni

Scriviamo la seconda formula di Eulero in questo modo:
$\sin a\sin c\cos \beta=\cos b-\cos c\cdot\cos a$

e sostituendo $\cos a$ con la prima formula di Eulero, si ottiene:
$\sin a\sin c\cos \beta=\cos b-\cos c(\cos b \cos c+\sin b \sin c \cos\alpha)$

che elaboriamo algebricamente nei seguenti passaggi:

\begin{equation*}
\begin{split}
\sin a\sin c\cos \beta & =\cos b-\cos c(\cos b \cos c+\sin b \sin c \cos\alpha) \\
& =\cos b – \cos b \cos^2 c – \sin b \sin c \cos c \cos\alpha \\
& =\cos b(1-\cos^2 c)-\sin b \sin c \cos c \cos\alpha \\
& =\cos b \sin^2 c-\sin b \sin c \cos c \cos\alpha
\end{split}
\end{equation*}

(per effettuare l’ultimo passaggio ricordiamo che $1-\cos^2 c = \sin^2 c$).

Infine dividiamo per $\sin c$ entrambi i membri dell’uguaglianza ottenuta dai precedenti passaggi:

$$\frac{\sin a\sin c\cos \beta}{\sin c} =\frac{\cos b \sin^2 c-\sin b \sin c \cos c \cos\alpha}{\sin c}$$

e otteniamo così il teorema delle proiezioni che volevamo dimostrare:
$$\boxed{\sin a \cos \beta=\cos b \sin c-\sin b\cos c \cos\alpha}$$

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