Qualche calcolo più complesso: il prodotto di due funzioni trigonometriche
Come abbiamo visto fino ad ora, il quadrante dei seni può essere usato semplicemente come calcolatrice analogica (approssimata) per trovare rapidamente il seno e il coseno di un angolo, oppure per trovare un angolo dato il suo seno o il suo coseno.
Ora proviamo a sfruttare le proprietà degli archi dei seni e dei coseni associate all’uso di un cursore per risolvere alcune piccole equazioni trigonometriche.
Ad esempio, dati due angoli $\alpha=53^\circ$ e $\beta=28^\circ$ si voglia trovare il valore di un angolo $\theta$ per cui:
$$\sin{\theta}=\sin{\alpha}\cdot\sin{\beta}$$
Le operazioni da eseguire sono, in ordine, le seguenti:
- si posiziona il cordino in modo che intersechi l’arco degli angoli sui $53^\circ$ nel punto $A$.
- si fa scorrere il cursore fino a porlo all’intersezione del cordino con l’arco dei seni nel punto $B$. In questo modo “si memorizza” il seno di $53^\circ$.
- Si ruota il cordino sull’angolo $\beta$, cioè nel punto $C$. Di conseguenza il cursore si troverà nella nuova posizione $D$.
- La retta orizzontale della griglia che passa per $D$ incontra l’arco degli angoli nel punto $E$ che indicherà il valore dell’angolo $\theta$ cercato ($22^\circ$).
Come mai funziona? Chiediamoci il perché.
Il cursore, ruotando da $B$ a $D$, percorre un arco di circonferenza il cui raggio $BV$ è uguale a $\sin{\alpha}$. Consideriamo ora questo arco che passa per $B$ e $D$; esso potrebbe essere chiamato a ragione “arco del prodotto dei seni” perché tutti i triangoli rettangoli disegnati al suo interno, analogamente al triangolo $VYD$, hanno il cateto verticale $VY$ uguale al prodotto di due seni. Infatti:
$VD=\sin{\alpha}$ (perché $VD=VB$)
e
$VY=VD\cdot\sin{\beta}$
perciò:
$VY=\sin{\alpha}\cdot\sin{\beta}$
Infine calcoliamo l’angolo $\theta$ con la funzione arcoseno che abbiamo visto prima, trovando l’intersezione $E$ dell’orizzontale del punto $Y$ sull’arco degli angoli.