Introduzione

L’astrolabio fu lo strumento astronomico più ampiamente usato nel Medioevo. Uno degli scopi dello strumento era osservazionale: era impiegato per trovare l’angolo del Sole, della Luna, dei pianeti o delle stelle rispetto all’orizzonte o rispetto allo zenit. Era usato anche per determinare l’altezza delle montagne e delle torri o le profondità dei pozzi o in agrimensura in generale. Molto più importante era, comunque, il suo valore come strumento di calcolo ausiliario. Esso permetteva agli astronomi di calcolare la posizione del Sole e delle stelle principali  rispetto al meridiano e rispetto all’orizzonte allo scopo di trovare la latitudine e la direzione del nord, anche durante il giorno quando le stelle non erano visibili. Inoltre, permetteva loro di indulgere in quel prestigioso e lucrativo compito che era fare gli oroscopi. Prima che gli orologi affidabili fossero facilmente reperibili, l’astrolabio forniva al suo proprietario il mezzo per indicare l’ora, di giorno o di notte, fintantoché il sole o qualche stella riconoscibile segnata sullo strumento fosse visibile.

Per precisione, il nome dello strumento che sto per descrivere è astrolabio planisferico.


Descrizione generale

Per descrivere gli elementi più interessanti di un astrolabio, prendo come riferimento uno strumento europeo del XIV secolo conservato al Museo della Storia della Scienza di Oxford.

Per descrivere gli elementi più interessanti di un astrolabio, prendo come riferimento uno strumento europeo del XIV secolo conservato al Museo della Storia della Scienza di Oxford.

L’astrolabio era formato da varie parti, alcune fisse e altre mobili, tenute insieme da un perno centrale. L’aspetto complessivo è quello di un pregiato e complesso orologio.

La madre (mater) è la struttura portante dello strumento, un disco forato al centro e dotato di un bordo rialzato che serve per alloggiare gli altri dischi. Il contorno della madre presenta una scala graduata generalmente in ore da $0^h$ a $24^h$. In questo caso la scala è in gradi da $0^\circ$ a $360^\circ$ in senso orario.

Un anello, fissato al trono trilobato della parte superiore della madre, permette di maneggiare lo strumento lasciandolo pendere verticalmente per eseguire misure di altezza.

La lamina è un disco alloggiato nei bordi rialzati della madre. Anch’essa è dotata di foro centrale. Su di essa sono rappresentati in proiezione stereografica rispetto al polo sud celeste i reticoli dei sistemi di coordinate locali:
– l’equatore e alcuni paralleli di declinazione, comuni sia al sistema equatoriale che al sistema orario, sono concentrici al foro centrale il quale rappresenta il polo nord celeste; in questo caso sono rappresentati due paralleli notevoli: il tropico del Cancro che ha declinazione $+23^\circ\!,\!5$ e il bordo stesso della lamina che è il tropico del Capricorno (declinazione $-23^\circ\!,\!5$);
– i cerchi verticali e i paralleli di altezza (o almucantarat) del sistema altazimutale formano invece un reticolo eccentrico contornato dall’orizzonte; qui sono rappresentati i verticali distanti tra loro $10^\circ$ di azimut e gli almucantarat con altezza multipla di $5^\circ$;
– il meridiano celeste, comune a questi due sistemi di coordinate, è l’asse di simmetria centrale dei reticoli, allineato con gli $0^\circ$ in alto e i $180^\circ$ in basso della scala lungo il bordo. La lamina si incastra nella madre senza poter ruotare rispetto ad essa in modo da conservare la corrispondenza descritta.

Dato che la proiezione stereografica di questi elementi cambia a seconda della latitudine, il corredo di un buon astrolabio consisteva in una serie di lamine intercambiabili, ognuna portante il disegno dei reticoli locali corrispondenti ad una certa latitudine. Questa lamina, in particolare, corrisponde ai $45^\circ$ di latitudine.

Gli archi della parte inferiore segnano una divisione della notte in 12 parti uguali, denominate ore ineguali.

La rete è posta sopra la lamina. Essa rappresenta la proiezione stereografica delle stelle principali e dell’eclittica. Le stelle fisse erano pensate come facenti parte di una sfera che ruota attorno alla Terra attorno all’asse celeste. La rotazione della sfera avviene rispetto al sistema di riferimento locale rappresentato dalla lamina. Non avendo a disposizione un materiale trasparente e resistente, la rete, che non deve nascondere il reticolo sottostante disegnato sulla lamina, è una lastra metallica traforata composta di un cerchio esterno e di alcuni raggi sottili dai quali escono alcune decine di punte sottili chiamate fiamme che indicano la posizione di altrettante stelle. Un foro centrale coincide con i fori dei dischi sottostanti e un cerchio eccentrico rispetto ad esso rappresenta l’eclittica. Lungo l’eclittica sono segnate le case dello zodiaco.

Un puntatore a forma di lancetta è imperniato al centro, sovrapposto alla rete e libero di ruotare, permette di allineare una stella con il bordo della madre in modo da poter leggere gli angoli orari.

Un freno nel quale si infila il perno al di sopra del puntatore, serve per bloccare i dischi in modo che non si sfilino dalla madre. E’ chiamato cavallo perché tradizionalmente era modellato con la forma di questo animale.

Il dorso della madre era altrettanto importante come misuratore di altezze e come computer analogico. Su di esso erano rappresentate varie scale adatte al tipo di impiego che se ne faceva. Qui vediamo una scala più esterna composta di quattro quadranti di $90^\circ$ ciascuno. Un’asta girevole, chiamata alidada è fornita di due pinnule forate. Serviva per misurare l’altezza del Sole o di un astro. Quando i raggi di luce del Sole attraversano entrambi i fori, le estremità dell’alidada segnano la sua altezza sulla scala esterna.

Più internamente c’è la suddivisione dei segni zodiacali, e l’associazione di una scala delle longitudini eclittiche del Sole in corrispondenza con i 365 giorni dell’anno raggruppati in mesi. Queste tre scale servono per trovare la posizione del Sole in base alla data del calendario. La loro costruzione era molto laboriosa perché la longitudine eclittica del Sole, nel suo moto apparente annuo, non cresce uniformemente.

Vediamo inoltre una scala rettangolare delle tangenti che si utilizzava per misurare l’altezza di edifici o di alberi. Il rettangolo è composto da due quadrati delle ombre dotati ciasdcuno di scale dudecimali. Per approfondire questo punto vedi Il quadrato delle ombre.

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Costruzione di un astrolabio semplificato

Esistono in rete molte risorse utili per la costruzione di un astrolabio: dagli astrolabi prestampati da ritagliare e montare ai software in grado di produrre il disegno di un astrolabio a richiesta in base alla latitudine. Secondo me è molto più interessante disegnare a mano lo strumento, con riga e compasso, conoscendo le ragioni astronomiche e geometriche di ogni cerchio e di ogni retta che si traccia. Certo non è semplice come cliccare sul tasto di un progamma e stampare su un foglio lo strumento pronto all’uso, ma ritengo che dedicare alcuni pomeriggi uggiosi a questa attività guarisca dalla noia, stimoli l’intelligenza, la manualità, la creatività e, alla fine, ci metta in “contatto spirituale” con il signor Ipparco di Nicea, ritenuto da molti come il probabile inventore di questo meraviglioso strumento.

Si può lavorare con cartoncini e fogli trasparenti. I più ingegnosi posso costruirlo in legno, plexiglas o altro materiale più rigido.

Non costruiremo un astrolabio tradizionale anche se, leggendo queste istruzioni e studiando gli strumenti antichi è possibile imitarlo. Fornirò qui le indicazioni essenziali per uno strumento fatto di sole tre parti: la madre e la lamina saranno riprodotte su un unico disco di base, sopra troverà posto la rete che consiste in un foglio trasparente sul quale si disegnano le stelle principali e l’eclittica, infine una lancetta dotata di una scala stereografica sarà posizionata al di sopra della rete.

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Le basi della lamina: equatore e orizzonte

La prima cosa da fare è un esperimento di dimensioni del disegno: bisogna tener presente che la proiezione stereografica di cui si fa uso per la costruzione di un astrolabio ha molti pregi ma anche alcuni difetti. Il difetto principale, a mio parere, è che per disegnare alcuni punti e alcuni cerchi si necessario avere a disposizione un foglio molto grande e anche un compasso molto grande. La prima decisione da prendere riguarda le dimensioni dello strumento. Un strumento troppo piccolo è difficile da disegnare con cura, uno molto grande richiede fogli e strumenti di disegno troppo grandi. Per decidere, come ho detto, si può fare un esperimento grafico che, con l’aiuto di alcuni semplici calcoli, serve sia ad introdurci alla conoscenza della proiezione stereografica, sia a capire quali sono le dimensioni massime che ci possiamo permettere con i mezzi a nostra disposizione.

Partiamo con la rappresentazione della sfera celeste in proiezione ortografica disposta in questo modo: l’asse celeste verticale, il piano dell’equatore rappresentato come una retta orizzontale e la circonferenza che rappresenta il meridiano celeste il cui piano giace sul piano del foglio. Il raggio $R$ di questa sfera è la misura da decidere in base ai disegni che faremo. Propongo come prima prova un raggio $R$ di $10$ centimetri.

Il polo nord ($P_N$ e il polo sud $P_S$ celesti si trovano all’intersezione dell’asse celeste con la sfera. Si aggiunge ora il piano dell’orizzonte il quale, essendo perpendicolare al piano meridiano, è rappresentato come un diametro. L’inclinazione del piano dell’orizzonte rispetto all’equatore dipende dalla latitudine $\varphi$ del luogo in cui si utilizzerà l’astrolabio. Questa proiezone ortografica ha come punto di proiezione la direzione del punto cardinale est.

Perciò la linea est-ovest è perpendicolare al piano del foglio e si proietta come un punto al centro della sfera. Dell’orizzonte si vede la linea meridiana $NS$. Perpendicolare all’orizzonte è l’asse della verticale astronomica zenit-nadir $ZN_{ad}$. Sappiamo che la latitudine è l’angolo compreso tra il mezzocielo superiore $M_S$ e lo zenit $Z$; essa è uguale anche all’angolo compreso tra il polo elevato $P_N$ e il punto cardinale $N$ dell’orizzonte. Infatti è con questa inclinazione che saranno disegnati l’orizzonte e il suo asse.

Al di sotto della proiezione ortografica appena descritta, si rappresenteranno i primi elementi in proiezione stereografica. Si sceglie come punto di proiezione il polo sud celeste $P_S$ e come piano di proiezione stereografica il piano dell’equatore.

La parte sottostante del disegno rappresenta infatti il piano dell’equatore coincidente con il piano del foglio . Si traccia innanzitutto una retta orizzontale che rappresenta la proiezione stereografica del meridiano celeste. Il meridiano diventerà l’asse di simmetria dell’astrolabio.

L’equatore stereografico è identico alla circonferenza della sfera celeste: Lo si riproduce sotto, centrato in $P_N$ e di raggio $R$. Notiamo che i punti del mezzocielo, $M_s$ e $M_i$ coincidono nelle due proiezioni.

Per disegnare la posizione dello zenit che si trova sul piano meridiano si procede in questo modo:
– si traccia la retta $P_SZ$ e si individua il punto di intersezione $Z’$ sull’equatore
– si traccia la perpendicolare per $Z’$ che interseca il meridiano celeste sottostante nel punto $Z$ che è lo zenit stereografico.

Allo stesso modo si procede per qualsiasi altro punto e, come vedremo, anche per disegnare le stelle. Come ulteriore esempio, disegnamo ora il nadir stereografico:
– si congiunge il polo sud $P_S$ con il nadir ortografico $Z_i$: la retta va prolungata finché incontra l’equatore nel punto $Z_i’$.
– si scende con una perpendicolare da $Z_i’$ fino a incontrare il meridiano celeste nel punto stereografico del nadir $Z_i$.

Un po’ più complessa è la rappresentazione stereografica dell’orizzonte, ma il metodo, una volta appreso, si utilizzerà per tutti gli altri cerchi. Si procede in questo modo:
– si tracciano due rette $P_SN$ e $P_SS$ le quali incontrano l’equatore ortografico rispettivamente nei punti $N’$ e $S’$. Si scende con due perpendicolari fino a incontrare il meridiano stereografico nei rispettivi punti cardinali nord e sud $N$ e $S$. Questi sono i due punti diametrali dell’orizzonte stereografico perciò…
– si determina il punto medio $O$ del segmento $NS$. Questo punto è il centro dell’orizzonte stereografico: qui si punta il compasso, lo si apre con raggio $ON=OS$ e si traccia il circolo dell’orizzonte.

Osserviamo le due intersezioni tra l’orizzonte e l’equatore: sono i punti cardinali est e ovest. La retta che li congiunge è la linea est-ovest, perpendicolare alla linea meridiana.

Il nadir stereografico $Z_i$ è probabilmente il punto più lontano dal centro dell’equatore. Sarà tanto più lontano quanto maggiore è la latitudine $\varphi$. Anche se non rientrerà nei bordi dello strumento finale, è, come vedremo, un punto di costruzione importante per disegnare i circoli verticali. Alcuni circoli verticali richiederanno dei compassi molto grandi e la posizione del loro centro sarà molto lontana dal centro $P_N$ dell’equatore.

Approfittiamo qui per imparare ad utilizzare una semplice formula, spiegata nella pagina della proiezione stereografica, che ci permette di calcolare la distanza di un punto stereografico $X$ dal centro $P_N$ dell’astrolabio. Quelle che seguono non sono operazioni necessarie. Tutto può essere risolto esclusivamente per via grafica, ma il calcolo ci potrà essere utile in fase di progettazione, per decidere le dimesioni dell’astrolabio. Sapendo che la declinazione di un punto $X$ è $\delta$ e che il raggio dell’equatore è $R$:

$$\boxed{XP_N = R\tan\frac{90^\circ-\varphi}{2}}$$

Ad esempio, la distanza dello zenit $Z$ dal centro dell’astrolabio si calcola sapendo che la sua declinazione è uguale alla latitudine $\varphi$. Se la latitudine è $40^\circ$ e il raggio $R$ è $10 cm$, la distanza stereografica tra $Z$ e $P_N$ è:

$$ZP_N = 10 cm\cdot\tan\frac{90^\circ-40^\circ}{2}=4,7 cm$$

Come secondo esempio, calcoliamo ora la distanza del nadir $Z_i$ dal centro dell’astrolabio. La decliazione del nadir, è uguale alla latitudine $\varphi$, ma con segno negativo. Perciò:

$$Z_iP_N = 10cm\cdot\tan\frac{90^\circ-(-40^\circ)}{2}=21,4cm$$

Con l’aiuito di un foglio elettronico ci si può divertire a calcolare queste due distanze in funzione della latitudine. Si scoprirà ad esempio che alle latitudini elevate il nadir stereografico si allontana parecchio dal centro dell’astrolabio mentre lo zenit si avvicina ad esso. Con $R=10 cm$, se la latitudine $\varphi=+80^\circ$, il nadir si trova a più di un metro di distanza, mentre lo zenit a meno di un centimetro.

Con l’aiuto della stessa formula calcoliamo ora i diametri dell’orizzonte stereografico e la distanza del suo centro $O$ rispetto al centro $P_N$ dell’astrolabio. Osserviamo che i punti cardinali nord $N$ e sud $S$ hanno le declinazioni uguali alla colatitudine e quindi rispettivamente: $+50^\circ$ e $-50^\circ$. Perciò le distanze dei punti stereografici $N$ e $S$ dal centro $P_N$ si calcolano:

$$NP_N=10 cm\cdot\tan\frac{90^\circ-50^\circ}{2}=3,6 cm$$

$$SP_N=10 cm\cdot\tan\frac{90^\circ-(-50^\circ)}{2}=27,5 cm$$

La distanza del centro $O$ dell’orizzonte da $P_N$ si calcola:

$$OP_N=\frac{27,5 cm+3,6 cm}{2}=15,5 cm$$

Il prossimo passo consiste nel disegno di due paralleli di declinazione notevoli: i tropici.

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Disegnare i tropici

I tropici sono due paralleli di declinazione notevoli. Il tropico del Cancro si trova nell’emisfero celeste nord ed ha declinazione $+23^\1circ\!,\!5$; il tropico del Capricorno è il suo simmetrico nell’emisfero sud, con declinazione $-23^\1circ!,!5$. Essi rappresentano le declinazioni massima e minima raggiunte dal Sole nel corso dell’anno agli istanti dei solstizi.

Generalmente un astrolabio costruito per le latitudini boreali rappresenta le stelle che hanno declinazione superiore a quella del tropico del Capricorno. Perciò è proprio questo il circolo che decide le dimensioni finali dell’astrolabio, considerando un piccolo contorno in più per farci stare (come vedremo più avanti) un paio di scale graduate.

Tutti i cerchi paralleli al piano dell’equatore si proiettano nel piano stereografico come cerchi concentrici ad esso. Per disegnarli basta segnare i punti $A$ e $B$ sulla sfera celeste ortografica e con la tecnica nota, trovare le loro proiezioni sul piano stereografico. Il compasso va puntato al centro $P_N$ dell’astrolabio e l’apertura corrisponde ai loro raggi $AP_N$ e $BP_N$.

E’ interessante calcolare il raggio del tropico del capricorno che è funzione solo del raggio $R$ dell’equatore. Continuando con l’esempio di $R=10 cm$, risulta:

$$BP_N=10 cm\cdot\tan\frac{90^\circ-(-23^\circ\!,\!5)}{2}=15,3 cm$$

Il raggio del tropico del Capricorno rappresenta un raggio limite per l’astrolabio. Molti astrolabi non rappresentano stelle con declinazione inferiore a $23^\circ\!,\!5$. Un buon raggio di rappresentazione può essere il parallelo $-30^\circ$ perché contiene alcune stelle importanti come Fomalhaut del Pesce Australe, Antares dello Scorpione e Adhara del Cane Maggiore. Si dovrà considerare poi un bordo per farci stare, come vedremo, la ghiera degli angoli orari.

Notiamo pure come una parte di cielo dell’emisfero visibile, cioè quello contenuto nel cerchio dell’orizzonte, non rientri nel tropico del Capricorno e quindi non rientrerà nemmeno nell’astrolabio definitivo. L’area di cielo visibile esclusa dall’astrolabio dipende dalla latitudine: alle latitudini più alte quest’area è minore e viceversa.

Come si capirà meglio in seguito, non è necessario disegnare altri paralleli di declinazione: complicherebbero inutilmente il disegno della lamina. Per la misura delle declinazioni si ricorrerà ad un’alidada graduata dotata di una scala stereografica.

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Gli almucantarat o cerchi di altezza

I riferimenti altazimutali disegnati fino ad ora sono lo zenit e il cerchio dell’orizzonte. Arricchiamo ora questi riferimenti con i cerchi di altezza che sulla sfera celeste sono cerchi minori parallelli all’orizzonte. Nella proiezione ortografica sia l’orizzonte che i cerchi di altezza sono inclinati rispetto all’equatore. Di conseguenza, la loro proiezione stereografica assume le forme di una serie di circonferenze eccentriche. Disegnamone uno e si capirà come disegnare tutti gli altri. La tecnica è la stessa che abbiamo già visto per il disegno di un qualsiasi altro cerchio: segnare due estremità diametrali, proiettarle sul piano stereografico e trovare il punto medio del segmento che li congiunge.

L’almucantarat rappresentato qui ha un’altezza di $h$ gradi rispetto all’orizzonte $NS$. Come si può notare anche dal disegno, il centro $O$ su cui puntare il compasso non coincide con il centro dell’orizzonte stereografico.

Lascio al lettore il calcolo del raggio e della posizione del centro di un almucantarat in funzione della sua altezza e della latitudine. Come esempio, suggerisco solo che la declinazione del punto $A$ è uguale alla colatitudine più l’altezza dell’almucantarat.

A seconda delle dimensioni dell’astrolabio, della precisione desiderata e della leggibilità, si può scegliere di disegnare solo $8$ almucantarat con altezza multipla di $10^\circ$ o aggiungere anche quelli intermedi a distanza di $5^\circ$, magari con un tratto più sottile.

Ecco come si presenta la costruzione degli almucantarat multipli di $10^\circ$.

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I cerchi verticali

Disegnare i cerchi verticali è la parte più complessa. La loro costruzione è più complicata e le regole di costruzione sono meno immediate da capire rispetto ai disegni fatti fino ad ora. Inoltre, per alcuni dei cerchi verticali si richiede un foglio di grandi dimensioni anche un grande compasso! Con un po’ di ingengno si può comunque risolvere. Ad esempio usando una tavola di legno sulla quale si possono piantare delle puntine e, al posto del compasso, una penna legata ad una cordicella. Si fissa una puntina nel centro del cerchio, si lega ad essa un’estremità della cordicella e all’altra estremità si lega la penna, nei pressi della punta. Il segno non sarà perfetto ma avrà una buona approssimazione rispetto alla traccia di un compasso.

Per capire come costruire i cerchi verticali basti pensare che essi passano tutti per lo zenit e per il nadir. L’asse zenit-nadir sulla proiezione stereografica coincide con il meridiano celeste. Dati i diversi azimut dei cerchi verticali, le loro proiezioni stereografiche avranno diverse dimensioni. Pur avendo diverse dimensioni, tutti questi cerchi devono comunque passare per lo zenit e il nadir. Così, lo zenit e il nadir nella proiezione stereografica diventano gli estremi di una corda comune a tutti i cerchi verticali. Ricordiamo una regola geometrica facilmente verificabile: l’asse di una corda di circonferenza passa sempre per il centro del cerchio. Una conseguenza di questa legge è che i centri di tutte le circonfereza che hanno in comune una stessa corda devono per forza trovarsi sull’asse della corda.

In base a queste considerazioni e sapendo che la proiezione stereografica conserva gli angoli alle intersezioni delle circonferenze e delle rette, possiamo trovare facilmente l’asse lungo il quale si dispongono i centri dei circoli verticali stereografici da disegnare.

Consideriamo solo la proiezione stereografica, dato che quella ortografica non serve più per questa costruzione. Identifichiamo il punto medio $C$ del segmento $Z_iZ$ che congiunge il nadir con lo zenit.

Puntando il compasso in $C$ possiamo disegnare subito il primo verticale che è cerchio verticale notevole passante per i punti cardinali est e ovest. Osserviamo che esso forma angoli di $90^\circ$ gradi con l’orizzonte nei punti est e ovest. Tutti i cerchi verticali ,infatti, per definizione sono perpendicolari all’orizzonte. Il verticale nord, cioè quel cerchio verticale notevole che passa per il nord e il sud celesti coincide con il meridiano celeste e quindi è già stato disegnato.

Tracciamo ora l’asse del segmento $Z_iZ$, cioè quella retta che è perpendicolare ad esso e che passa per il suo punto medio $C$. Lo si può chiamare “asse dei centri” perché segneremo lungo questa retta tutti i centri dei cerchi verticali. Iniziamo con il tracciare un cerchio verticale che interseca l’orizzonte di nord-est in un punto di azimut $A^\circ$. Esso inncontretà l’orizzonte anche sul versante opposto di sud-ovest nel punto di azimut $A^\circ+180$. Per trovare il centro di questo cerchio verticale pensiamo che esso è ruotato di $90^\circ-A^\circ$ verso ovest rispetto al verticale nord. Così, dato che sulla proiezione stereografica si mantengono gli angoli, possiamo tracciare il suo raggio $ZK$ ruotato di $90^\circ-A°$ in senso antiorario rispetto al meridiano. Il punto $K$ identificato in questo modo è il centro dove puntare il compasso. Osserviamo che, se il disegno è corretto, il cerchio verticale deve formare $90^\circ$ con l’orizzonte nei punti di intersezione.

Dal punto di vista matematico, abbiamo già visto come si calcolano le distanze $ZP_N$ e $Z_iP_N$. Esse dipendono dalla latitudine $\varphi$ e dal raggio $R$ dell’equatore. Così, anche distanza $CP_N$ dell’asse dei centri dal centro $P_N$ dell’astrolabio e il raggio $CZ$ del primo verticale dipendono, alla fine, solo da $\varphi$ e da $R$. Noti $ZP_N$ e $Z_iP_N$, essi si calcolano così:

$$CZ=\frac{Z_iP_N+ZP_N}{2}$$

$$CP_N=CZ-ZP_N$$

La distanza dal meridiano celeste del centro di un cerchio verticale che inizia ad oriente in un punto$K$ di azimut $A^\circ$, cioè la lunghezza del segmento $KC$ si calcola ora facilmente, noto il raggio $CZ$:

$$CK=CZ\tan{(90^\circ-A^circ)}$$

Qui è interessante poter calcolare in anticipo la distanza $KZ$ che è il raggio di un cerchio verticale di azimut $A^\circ$:

$$KZ=\frac{CK}{\cos{A^\circ}}$$

Infatti, i raggi $KZ$ dei circoli verticali prossimi al meridiano celeste sono molto grandi. Ad esempio, utilizzando i valori che abbiamo già usato di $R10 cm$ e $\varphi=40^\circ$, la distanza $CK$ risulta di $74 cm$ e il raggio $KZ$ del cerchio orario dei $10^\circ$ di azimut è $75 cm$!

Ecco come si presenta la costruzione dei primi $8$ circoli orari distanti $10^\circ$ l’uno dall’altro. I restanti $8$ sono simmetrici a questi e si costruiscono in modo simmetrico rispetto al meridiano celeste.

Ecco come si presenta la rete altazimutale completa, con $16$ cerchi verticali e $8$ almucantarat, rispetto all’equatore e ai due tropici.

Si noterà la disposizione dei punti cardinali est e ovest rispetto al nord e al sud: chi ha prestato attenzione alle considerazioni fatte, avrà capito che la sfera celeste che stiamo disegnando è vista dal di fuori. Immaginiamo di sollevarci al di sopra del polo nord celeste, “uscire” dalla sfera celeste, e guardarla in questo modo. Così, la ghiera graduata dell’azimut cresce da nord in senso orario. Allo stesso modo si rappresenteranno le stelle sulla rete: la loro posizione sarà individuata in base alle loro coordinate equatoriali. L’ascensione retta dovrà essere letta su una scala che cresce in senso antiorario partendo dalla direzione del punto vernale.

L’alternativa è quella di rappresentare la sfera celeste, i suoi riferimenti e le sue stelle, “dal di dentro” cioè come le vediamo noi. Per fare questo dovremo invertire sia il senso della scala dell’azimut (e quindi scambiare le posizioni dei punti cardinali est e ovest), sia il senso della scala dell’ascensione retta. Per tradizione, gli astrolabi utilizzano la prima versione, quella della sfera vista “dal di fuori”. Questo modo peculiare di rappresentare la sfera celeste ha almeno una spiegazione: l’astrolabio planisferico era la versione “portatile” di strumenti a tre dimensioni come le sfere armillari e gli astrolabi sferici, difficili da trasportare ma estremamente efficaci nell’imitare la sfera celeste e i moti degli astri, anche da un punto di vista didattico. L’astrolabio planisferico ne riproduceva tutte le caratteristiche e chi lo utilizzava poteva facilmente immaginare di avere in mano il ben conosciuto strumento tridimensionale che esso rappresentava idealmente. Rispetteremo anche noi questa tradizione.

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La scala stereografica

Come si è detto prima, le stelle si disegnano in base alle loro coordinate equatoriali: declinazione e ascensione retta. La lunghezza del lavoro è proporzionale al numero di stelle che si desidera rappresentare. Per questo, è necessario costruire uno strumento di lavoro importante: un righello con una scala stereografica delle declinazioni.

Ritorniamo perciò un po’ indietro alla proiezione ortografica. Costruiamo una scala delle declinazioni con un goniometro attorno ad un semicerchio orario che va dal polo nord al polo sud celeste. Utilizzando la ormai nota tecnica della proiezione stereografica, a partire dal polo sud tracciamo una serie di rette che passano per le declinazioni multiple di $10^\circ$. Le loro intersezioni con la retta dell’equatore forniscono le posizioni dei corrispondenti punti di declinazione stereografica.

Il raggio del tropico del Capricorno segna il limite della declinazione minima utile della scala.

La scala così costruita a perfezionata con le singole tacche dei gradi, può essere disegnata su un righello che va inperniato nel centro $P_N$ dell’astrolabio

Questo è il posizionamento corretto del righello rispetto al disegno della lamina. Andrà posto al di sopra della rete. Esso agevolerà la costruzione grafica delle stelle della rete di cui ci occuperemo nei prossimi paragrafi. Si comprende qui il motivo per cui sulla lamina sono stati disegnati solo due paralleli di declinazione (i tropici). La misura della declinazione di un astro si ottiene per mezzo della scala stereografica che abbiamo costruito senza la necessità di riempire di parallelli inutili la lamina già piuttosto complessa.

Un concetto simile riguarda l’angolo orario e l’ascensione retta. Le proiezione stereografiche dei circoli orari sono dei segmenti passanti per il polo nord celeste. Infatti i circoli orari sono perpendicolari all’equatore e nella proiezione stereografica sono visibili “di taglio”. Non si disegnano perché è sufficiente disegnare una ghiera con la scala delle ore sul bordo esterno della lamina. La scala dell’ascensione retta può essere disegnata invece sul bordo della rete. La punta del righello raggiungerà entrambe queste scale che saranno disegnate sul bordo dell’astrolabio.

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La scala delle ore

La scala degli angoli orari si disegnava sulla madre in quanto è uguale per qualsiasi latitudine ed è una scala locale perché ha come origine il meridiano celeste: è una semplice scala in ore da $0^h$ a $24^h$. Data la priorità della misura dell’ora solare, è tradizione far iniziare la scala con lo zero in direzione cardinale nord. Le ore $12$ cadono perciò sulla direzione sud.

Questo è l’aspetto quasi definitivo della lamina, dotata di ghiera oraria.

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La rete: disegnare l’eclittica

Come abbiamo detto, sulla rete si rappresenta l’uranografia della sfera celeste: i riferimenti del sistema equatoriale, l’eclittica e le stelle principali. E’un disco che deve lasciar vedere i riferimenti locali della lamina. Noi lo costruiremo con un materiale trasparente (plexiglas o foglio di plastica trasparente) e lo disegneremo utilizzando un inchiostro indelebile. Non è un’operazione facile, soprattutto perché gli errori sono difficilmente riparabili. Un’alternativa più semplice, che si trova in molti astrolabi in commercio, è quella di invertire i due dischi, entrambi di cartoncino o materiale opaco: il disco della rete si tiene al di sotto del disco della lamina. Quest’ultimo ha i cerchi dell’equatore e dei tropici, mentre il cerchio dell’orizzonte è ritagliato per mostrare le stelle della rete sottostante. Si rinuncia così al reticolo altazimutale (almucantarat e cerchi verticali); inoltre si vedono solo le stelle dell’emisfero visibile, quelle che appaiono nel foro delimitato dall’orizzonte della lamina, mentre le altre rimangono nascoste. In compenso, potendo disegnare comodamente il cielo su un normale foglio di cartoncino, ci si può sbizzarrire nel disegnare molte stelle, i segni delle costellazioni, la traccia della via lattea ecc. La scelta dipende dai gusti. La soluzione della rete trasparente aderisce di più alla tradizione.

Prendiamo in mano perciò per la prima volta il foglio sul quale si disegna la rete e riproduciamo l’equatore e l’eclittica con la tecnica ormai nota. L’eclittica è un cerchio massimo inclinato di $23^\circ$ e mezzo rispetto all’equatore (per maggior precisione l’obliquità dell’eclittica è attualmente intorno a $23^\circ\!,\!438$). Essa interseca l’equatore nei due punti equinoziali: il punto vernale $\gamma$ (o primo punto dell’Ariete) e il primo punto della Bilancia $\Omega$. La retta che li congiunge è la linea dei nodi dell’eclittica. Altri due punti notevoli completano il disegno dell’eclittica: i punti solstiziali di giugno ($S_g$) e di dicembre ($S_d$). Questi quattro riferimenti sull’eclittica (chiamati cardini dell’eclittica) ci aiuteranno a disegnare gli eventuali segni o case dello zodiaco.

E’ interessante considerare il fatto che l’equatore è un riferimento comune sia di un sistema locale, il sistema orario, disegnato sulla lamina, sia di un sistema uranografico, il sistema equatoriale disegnato sulla rete. Si può evitare di disegnare l’equatore sulla rete perché è visibile per trasparenza sulla lamina. Sempre per trasparenza, si noterà che, in un disegno preciso, l’eclittica è tangente al tropico del Cancro nel punto $S_g$ e al tropico del Capricorno nel punto $S_d$.

Per completare la rete con gli elementi essenziali, passiamo ora alla ghiera dell’ascensione retta.

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La scala dell’ascensione retta

La scala dell’ascensione retta ha origine nella direzione del punto vernale e cresce in senso antiorario. Essa va disposta in modo adiacente alla sottostante ghiera delle ore, all’interno o all’esterno di essa. Potrebbe essere numerata in gradi, da $0^\circ$ a $360^\circ$ o in ore da $0^h$ a $24^h$. Questa seconda soluzione avrebbe senso per un confronto omogeneo con la scala delle ore ma la sconsiglierei perché può indurre a confusione. Si tenga in considerazione il fatto che a seconda della versione di astrolabio che si sceglierà di costruire, potrà risultare utile aggiungere alla rete un’altra scala lungo la circonferenza esterna: quella dei $365$ giorni dell’anno. Quest’ultima potrebbe anche sostituire la scala dell’ascensione retta che potrebbe essere usata soltanto come goniometro per disegnare le posizioni delle stelle. Tutte queste considerazioni sono legate a scelte personali e alla volontà o meno di rispettare i canoni degli astrolabi tradizionali, oppure dare importanza a versioni più creative. Prima di fare queste scelte costruttive, è importante capire i motivi delle varie soluzioni.

Ecco come si presenta la ghiera dell’ascensione retta in rapporto all’eclittica e punto vernale $\gamma$.

La rete ora è pronta per il disegno delle stelle.

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Disegnare le stelle

Faremo uso del righello con la scala stereografica delle declinazioni per disegnare un certo numero di stelle e/o di costellazioni. Un elenco di ventiquattro stelle principali può essere utile per iniziare. La ricchezza di dettagli nel rappresentare le stelle è solo una questione di gusto personale.

                AR(gradi)  Dec(gradi)  mag
-------------------------------------------
Adhara          104,7       -28,9      +1,5
Aldebaran       68,9        +16,5      +0,9
Alhena          99,4        +16,4      +1,9
Alioth          193,5       +55,9      +1,8
Alnilam         84,1        - 1,2      +1,7
Alphard         141,8       - 8,7      +2,0
Alpheraz         2,1        +29,1      +2,6
Altair          297,7       + 8,9      +0,8
Antares         247,4       -26,4      +1,1
Arturo          213,9       +19,2      -0,1
Bellatrix       81,3        + 6,4      +1,6
Capella         79,2        +46,0      +0,1
Deneb           310,4       +45,3      +1,3
Deneb Kaitos    10,9        -17,9      +2,0
Fomalhaut       344,4       -29,6      +1,1
Gienah          183,9       -17,5      +2,6
Mirfak          51,1        +49,9      +1,8
Mirzam          95,7        -17,9      +1,9
Procione        114,8       + 5,2      +0,3
Ras Alhague     263,7       +12,6      +2,1
Rigel           78,6        - 8,2      +0,1
Sirio           101,3       -16,7      -1,5 
Spica           201,3       -11,2      +1,0  
Vega            279,2       +38,8      +0,0

L’aspetto della rete con le stelle principali.

Al posto del disegno delle costellazioni, può essere utile disporre le loro sigle. Questa tabella contiene le costellazioni visibili nel nostro cielo con le coordinate delle loro posizioni centrali.

Ecco come si presenta la rete con le stelle principali e le sigle delle costellazioni.

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La ghiera delle date

A questo punto del lavoro possiamo concludere con il disegno sulla rete di una ghiera dei $365$ giorni dell’anno. La scala dei giorni non è facilissima da costruire. L’anno tropico sarebbe composto da circa $365$ giorni e $\frac{1}{4}$ ($\text{365,2422}$ giorni SI). Il nostro calendario contiene invece un valore intero di $365$ giorni e per costruire l’astrolabio siamo costretti ad accettare questa prima approssimazione che non può tener conto del giorno intercalare degli anni bisestili. Il problema grafico sta nel suddividere i $360^\circ$ della scala dell’ascensione retta in $365$ parti uguali. Ne risulta che le tacche dei giorni devono essere distanziate di $360^\circ:365 = 0^\circ\!,\!9863$. Con un programma di grafica vettoriale o un altro software grafico il problema è facilmente risolvibile. Nel caso di un disegno a mano, si procede così:

1- si numerano da 1 a 365 i giorni di un anno non bisestile cominciando dal 22 di marzo. In questo modo, ad esempio, il primo di aprile è l’11-esimo giorno della nostra numerazione, il primo di maggio è il 41-esimo giorno fino ad arrivare al 365-esimo giorno che è il 21 di marzo.
2- Se $n$ è l’ennesimo giorno da rappresentare a fianco della scala dell’ascensione retta, la sua tacca si disegnerà in corrispondenza di $n\times0^\circ\!,\!9863$ di ascensione retta (vedi una tabella già pronta che può essere di aiuto). Il 21 di marzo corrisponderà ai $0^\circ$ che è la data media dell’equinozio di marzo (l’oscillazione dell’istante dell’equinozio è ciclica con un periodo di 4 anni perché dipende dal conteggio dei giorni del calendario Gregoriano nel quale ogni 4 anni è inserito un giorno intercalare).

La rete ora è completa con la ghiera esterna delle date. Il diametro del cerchio più esterno con le tacche delle date deve coincidere con il cerchio interno delle ore disegnate nella lamina.

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Una prima versione dell’astrolabio

Così si presentano i due dischi sovrapposti: alla base la lamina con la scala delle ore e i riferimenti altazimutali; al di sopra la rete con le stelle e le due scale dell’ascensione retta e del calendario; infine, al di sopra, l’alidata con la scala stereografica delle declinazioni.

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Come si usa

Questo tipo di astrolabio, che si potrebbe definire “moderno” è quello più diffuso nelle pubblicazioni attuali. Lo strumento si può usare per vari scopi. Ne elenchiamo alcuni.

  1. La funzione principale è quella di mostrare l’aspetto del cielo, come esso si presenta all’osservatore, in un determinato istante di tempo. Per istante di tempo si intende l’ora del fuso segnata dai nostri orologi. In pratica, facendo ruotare la rete rispetto alla lamina, si fa coincidere la data della rete con l’ora della lamina. Le stelle si posizioneranno con l’altezza e l’azimut corretti per quell’ora e quella data.
  2. Lo strumento può essere usato anche come orologio notturno: se si misura l’altezza e l’azimut di una certa stella, ruotando la rete si cerca di far corrispondere la stella rappresentata sul reticolo altazimutale in modo da far coincidere altezza a azimut con quelli misurati: in corrispondenza della data attuale si può leggere l’ora della notte. In pratica è una versione più sofisticata del notturnale. Quest’ultimo strumento infatti è costruito in base alla posizione di una o due stelle circumpolari. L’astrolabio invece permette il calcolo dell’ora misurando la posizione altazimutale di una qualsiasi stella visibile.
  3. Una terza funzione è quella di trovare l’ora e il punto del sorgere o del tramonto di una stella. Per fare questo, si posiziona la rete in modo da porre una stella sulla linea dell’orizzonte orientale (per il sorgere) o occidentale (per il tramonto). Si può così leggere l’azimut (che per le stelle non varia nel corso dell’anno essendo funzione della sola latitudine dell’osservatore). La data attuale coinciderà con l’ora del giorno (o della notte) in cui ci possiamo aspettare quell’evento.

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Precisazioni sull’uso

Nel paragrafo riguardante la ghiera delle date, si è accennato da una prima approssimazione nel disegnare la scala. E’ interessante capire il perché del funzionamento di base dell’astrolabio, in particolare per quanto riguarda il rapporto tra le tre scale. Con la comprensione delle ragioni della sua costruzione, si capiranno anche altre due approssimazioni e gli eventuali aggiustamenti nell’uso dello strumento. Di particolare importanza è l’aggiustamento dovuto alla costante locale.

L’accoppiamento della scala dell’ascensione retta con la scala dei 365 giorni diventa, in realtà, un calcolatore analogico (approssimato) del tempo siderale al meridiano zero ( cioè a Greenwich), alle ore $12$ UT, cioè a mezzogiorno di tempo medio. La scala è definita in base al fatto che il Sole medio, a differenza del Sole vero, percorre archi di equatore uguali in intervalli di tempo uguali.

Ad esempio, il giorno 11 giugno, che corrisponde a $81^\circ$ di ascensione retta, può essere interpretato in questo modo: l’11 giugno a Greenwich il Sole medio è sul meridiano celeste, che coincide con il meridiano zero. L’ascensione retta del Sole è $81^\circ$; perciò, anche l’angolo orario del punto vernale $\gamma$, cioè il tempo siderale a Greenwich alle ore 12 UT, ha lo stesso valore.

L’angolo orario del Sole medio, pari a $81^\circ$ mi informa sulla posizione delle stelle rispetto al Sole in un istante di tempo preciso: il mezzogiorno medio di Greenwich. Nelle ore precedenti e in quelle successive la situazione non sarà esattamente la stessa perché il Sole medio ha un moto proprio annuo rispetto alle stelle di circa $360^\circ:365=0^\circ\!,\!98$, al giorno e di una piccolissima frazione di grado ogni ora ($\simeq2’27”$) in senso antiorario. Con una certa approssimazione, questa disposizione del Sole rispetto alle stelle sarà la stessa che un qualsiasi altro osservatore vedrà rispetto al suo proprio orizzonte, a patto che le ore di distanza dal quell’istante non sino troppe. Ruotando la rete rispetto alla lamina non si fa altro che simulare la rotazione diurna apparente della sfera celeste per orientare il suo orizzonte rispetto all’ora richiesta. Questa è la seconda approssimazione che possiamo ritenere trascurabile. Perciò, se voglio sapere com’è il cielo sopra di me oggi alle ore $20$ del mio orologio, faccio ruotare la rete rispetto alla lamina in modo che la l’ora segnata sulla scala esterna della lamina coincida con la data di oggi sulla scala delle date. Se si volesse essere molto precisi, si dovrebbe calcolare la differenza di tempo tra le ore 12UT e l’ora del fuso richiesta per l’osservazione. A questa differenza si dovrebbe applicare una correzione dovuta allo spostamento in ascensione retta del Sole in questo intervallo. Passiamo invece alla terza approssimazione, la più importante, non trascurabile in gran parte dei casi.

L’ora indicata dal nostro orologio è l’ora civile di un certo fuso orario. Perciò essa indica la posizione del Sole medio rispetto al meridiano centrale del fuso e non rispetto al meridiano in cui io mi trovo effettivamente a osservare il cielo. Ad esempio, il meridiano centrale del fuso UTC+1 quello che decide il tempo CET o CEST di gran parte dei paesi europei, è il meridiano che si trova a $+15^\circ$ di longitudine. Per ogni grado di distanza dal meridiano centrale dobbiamo perciò contare $4$ minuti di differenza tra il tempo locale e il tempo del meridiano centrale del fuso: è il tempo impiegato dalla Terra per ruotare di un grado rispetto alle stelle. Ad esempio, la longitudine di Brindisi è $+18^\circ$. Un osservatore di Brindisi si trova a $3^\circ$ a est del meridiano centrale del fuso europeo. Questo valore di $3^\circ=18^\circ-15^\circ$ è chiamato costante locale di Brindisi. Il Sole e le stelle hanno un moto diurno apparente da est verso ovest, perciò il Sole passa prima al meridiano celeste dell’osservatore di Brindisi e poi al meridiano centrale del fuso. Dato che per ogni grado di rotazione la terra impiega $4$ minuti, il mezzogiorno locale di Brindisi cade $12$ minuti prima del mezzogiorno CET. Se l’osservatore di brindisi volesse regolare uno dei suoi orologi sull’ora media locale in modo che segni le ore $12$ quando il Sole passa al meridiano di Brindisi, dovrebbe spostare la lancetta delle ore di $12$ minuti in avanti. Così le ore 12 locali corrispondono alle ore $11\!:\!48$ CET. Il calcolo che è stato fatto per trovare l’ora locale $t_L$ partendo dall’ora CET del fuso $t_F$ considerando la differenza $C$ di $12$ minuti di longitudine è:

$$t_L = t_F+C$$

La longitudine di Cagliari è $+9^\circ$. Ciò significa che la città si trova $6^\circ$ a ovest rispetto al meridiano centrale. La costante locale $C$ di Cagliari è perciò:

$$C=9^\circ-15^\circ=-6^\circ=-24^m$$

Il Sole passa prima sul meridiano centrale e poi su Cagliari, $24$ minuti dopo. Quando gli orologi europei sincronizzati con il $CET$ segnano le ore $12$, il Sole medio non è ancora sul meridiano di Cagliari. Se l’osservatore cagliaritano dovesse regolare uno dei suoi orologi sul tempo medio locale dovrebbe metterlo indietro di $24$ minuti in modo che al mezzogiorno locale segni le ore $12\!:\!00$ mentre gli orologi CET segnano le ore $12\!:\!24$.

Usando la prima formula:

$$t_L = t_F + C=t_F-24m$$

In sostanza, per usare bene l’astrolabio, un osservatore di Brindisi che si trova a est del meridiano centrale del fuso e vuole sapere com’è il cielo di una certa data alle ore $21$ CET, dovrà ruotare la rete in modo che la tacca della data corrisponda alle ore $21\!:\!12$ della scala delle ore. L’osservatore di Cagliari invece, che si trova a ovest del meridiano centrale, dovrà togliere ben 24 minuti dall’ora di osservazione e quindi porre la data sulle ore $20\!:\!36$ della lamina.

E’ importante notare che quest’ultima non è un’approssimazione trascurabile, a meno che l’osservatore non si trovi ad una piccola distanza in longituine dal meridiano centrale. Ad esempio, se un osservatore spagnolo che vive nella città di Santiago di Compostela usasse l’astrolabio trascurando questo aggiustamento dovuto alla costante locale, posizionerebbe la rete con un errore di un’ora e mezza. La Spagna infatti utilizza lo stesso tempo CET europeo anche se il suo territorio si estende tra le longidutini $-3^\circ$ e $-9$. La longitudine di Santiago di Compostela è $-8^\circ30’$ e la sua costante locale si calcola così:

$$C = -8^\circ30^\prime – 15^\circ = -23^\circ30^\prime = -94m$$

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