La relazione tra giorno medio e giorno siderale

Immaginiamo il Sole medio e una certa stella che attraversano simultaneamente insieme il meridiano perché la loro ascensione retta è uguale. Dopo un giorno siderale la stella completa la sua rotazione di $360^\circ$ di moto diurno apparente e ritorna al meridiano mentre il Sole medio attraverserà il meridiano con un ritardo di $3^m\text{55,91}^s$ secondi di tempo medio. L’intervallo del giorno siderale $d_s$ infattiè minore di un giorno medio $d_m$ e la differenza di $3^m\text{55,91}^s$ di tempo medio è chiamata ritardo del Sole medio in un giorno siderale:

$$\boxed{1\,d_s=1\,d_m-3^m\text{55,91}^s}$$

In modo analogo, l’anticipo del passaggio al meridiano della stella rispetto al Sole medio è di $3^m\text{56,56}^s$ di tempo siderale: questo anticipo è chiamato accelerazione delle stelle fisse in un giorno medio:

$$\boxed{1\,d_m=1\,d_s+3^m\text{56,56}^s}$$

Conversioni

Le conversioni tra un intervallo di tempo medio $\Delta t_m$ in un uguale intervallo di tempo siderale $ \Delta t_s$, e viceversa, si ottiengono con le formule:

$$\boxed{\Delta t_s= \text{1,002738 }\cdot \Delta t_m}$$

$$\boxed{\Delta t_m= \text{0,997270 }\cdot \Delta t_m}$$

Queste formule di conversione, in particolare la prima, ci possono essere utili in alcune delle nostre esperienze. In pratica, si può ottenere una stima accettabile di un intervallo di tempo siderale da un tempo medio aggiungendo $10$ secondi per ogni ora. Infatti, usando la prima formula, un’ora media corrisponde a $\text{1,002738}$ ore siderali che equivalgono a $1$ ora siderale e $\text{9,81}$ secondi siderali.

Le ragioni matematiche di queste formule deriva dal fatto che, come abbiamo già visto, un anno tropico è un intervallo di tempo pari a $\text{365,2422}$ giorni solari medi e anche a $\text{366,2422}$ giorni siderali.

Possiamo innanzitutto affermare la seguente uguaglianza tra il numero di giorni solari medi $d_m$ e il numero giorni siderali $d_s$ che rappresentano un identico intervallo di tempo:
$$\text{366,2422}d_s=\text{365,2422}d_m$$
Se dividiamo entrambi i membri per $\text{366,2422}$ otteniamo:
$1d_s=\frac{365,2422}{366,2422}d_m=$
$\,=\frac{366,2422-1}{366,2422}d_m=$
$\,=1d_m-\frac{1}{366,2422}d_m$
Perciò, per ottenere un giorno siderale si toglie da un giorno medio la frazione $\frac{1}{366,2422}$ di giorno medio che, espressa in minuti, è uguale a $3^m\text{55,91}^s$. E’ il ritardo del Sole medio in un giorno siderale.

In modo analogo, possiamo dividere entrambi i membri della prima uguaglianza per $\text{365,242}$ ottenendo alla fine:

$1d_m=1d_s+\frac{1}{365,2422 }d_s$.

La frazione $\frac{1}{365,2422}$ di giorno siderale equivale a $3^m\text{56,56}^s$ siderali ed è l’accelerazione delle stelle fisse in un giorno medio.

Il rapporto $\frac{365.2422}{366.2422}\simeq\text{0,997270}$ può essere usato come costante di conversione di un intervallo di tempo siderale nel medesimo intervallo espresso in tempo medio. La frazione inversa $\frac{366.2422}{365.2422}\simeq\text{1,002738}$ servirà per la conversione inversa.